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150 第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广
§4-2 关于连续函数积分的结论
读者已经知道，闭区间上的连续函数是可积的（注意，可积函数不一定是连续的）.关于连续函数的积分，有下面的重要结论.
定理4-1 若函数h(x)在区间[a,b]上是非负连续函数，则 ．．
b?h(x)dx?0??h(x)?0(a?x?b)
a（充分必要条件）
证 充分性(?)是明显的.必要性(?)的证明用反证法. 假若函数h(x)在区间[a,b]上不恒等于0，则 至少有一点x0?[a,b]使h(x0)?0. 根据函数h(x) 在点x0的连续性，有含x0的闭区间[?,?]?[a,b]， 使h(x)?0(??x??)(图4-10,见§1-5).设m为 函数h(x)在区间[?,?]上的最小值(m?0).于是，
O a b x ?x0? 图4-10
y y?h(x) ?bh(x)dx?ab??h(x)dx?a??h(x)dx???bh(x)dx?0?????h(x)dx?0?m(???)?0
这与假设
?h(x)dx?0矛盾.
a定理4-2 设f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上是连续函数.若f(x)?g(x)且f(x)在区间[a,b]上不恒等于g(x)，则
bb?【注】积分单调性是说，
f(x)dx?a?g(x)dx
abb“若f(x)?g(x)，则
可是，定理4-2的结论中是严格不等式.
?f(x)dx?a?g(x)dx”
a证 设h(x)?f(x)?g(x). 因为h(x)在区间[a,b]上是非负连续函数且不恒等于0，根据定理4-1，所以
bbbb0?b??h(x)dx?a??f(x)?g(x)?dx?a?f(x)dx?a?g(x)dx
ab因此，
?f(x)dx?ag(x)dx.
a微分学中有微分中值定理，而积分学中也有一个中值定理，称为积分中值定理.从几何上说(图4-11)，当f(x)?0时，必定有点c(a?c?b)，使曲边梯形AabBCA 的面积等于以
[a,b]为底且以f(c)为高的矩形EabFE的面积，即
b?
f(x)dx?f(c)(b?a)
a150
§4-2 关于连续函数积分的结论 151
y E A C y?f(x) F B f(c) O a c
图4-11
这个结论的一般情形就是下面的积分中值定理（*）.
c(a?c?b)，使
b x 定理4-3(积分中值定理) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的，则至少有一点
ba?f(x)dx?f(c)(b?a)
证 因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最小值m和最大值
M[m?f(x)?M].首先假定f(x)在[a,b]上既不恒等于m，又不恒等于M，根据定理
4-2，则有
m(b?a)??bf(x)dx?M(b?a)
a即
m?1b?a?baf(x)dx?M
根据连续函数的介值定理，必有点c(a?c?b)，使
f(c)?b?a?1bf(x)dx，即
a?bf(x)dx?f(c)(b?a)
a其次，若f(x)在[a,b]上恒等于m(此时，也恒等于M)，结论显然成立.
读者知道，有限个函数值f(x1),f(x2),?,f(xn)的算术平均值为
f(x1)?f(x2)???f(xn)n?1i?nn?i?1f(xi)
可是，对于区间[a,b]上所有函数值来说，如何定义它们的“平均值”呢？很自然，先把区间[a,b]分成n等份，其分点为
xi?a?in(b?a)(1?i?n?1)，x0?a,xn?b
这些分点上函数值的算术平均值为 f(x1)?f(x2)???f(xn)n?1ni?n?i?1f(xi)?1b?ai?n?i?1f(xi)b?an?1b?ai?n?i?1f(xi)?xi
（*）
这个定理及其推广(定理4-4)常称为第一积分中值定理，因为微积分中还有第二积分中值定理.
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152 第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广
n其中?xi?(b?a)n是每一个小区间的长度.当n??时，有?x值的极限为
limn??i?nb?0，所以上述算术平均
b?a?i?11f(xi)?xi?b?a?b1f(x)dx?f(c)
a因此，把数值
f[a,b]?f(c)?b?a?1f(x)dx (4-2)
a称为函数f(x)在区间[a,b]上所有函数值的平均值是合理的.
定理4-4 设函数f(x)和p(x)都在区间[a,b]上连续，且p(x)不变号.证明：至少有一点c(a?c?b)，使
bb?f(x)p(x)dx?f(c)a?p(x)dx[积分中值定理的推广]
a【注】特别，取函数p(x)?1，则得
?abf(x)dx?f(c)(b?a)(a?c?b)
因此，定理4-4是积分中值定理4-3的推广.
证 当p(x)恒等于0时，结论显然成立(0?0).以下认为函数p(x)在闭区间[a,b]上不恒等于0.因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以它有最小值m和最大值M，而函数
p(x)不变号，所以
mp(x)?f(x)p(x)?Mp(x) 或 mp(x)?f(x)p(x)?Mp(x)
首先认为f(x)p(x)既不恒等于mp(x)，也不恒等于Mp(x)，则
bbb
m???p(x)dx?ab??f(x)p(x)dx?Mab??p(x)dx
ab或 mbp(x)dx?af(x)p(x)dx?Map(x)dx
ab注意到，
?p(x)dx?0或
ap(x)dx?0，则有
ab?m?(?)f(x)p(x)dxab?M
p(x)dx(?)?a根据连续函数的介值定理，则有c?(a,b)，使
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§4-2 关于连续函数积分的结论
b153
?f(c)?bbf(x)p(x)dxab
p(x)dx?即
a?f(x)p(x)dx?f(c)a?p(x)dx(a?c?b).
a其次，假若f(x)p(x)?mp(x)(a?x?b)，因为p(x)在闭区间[a,b]上连续且不恒等于0，所以必有点c?(a,b)，使p(c)?0，从而由f(c)p(c)?mp(c)得f(c)?m. 于是就有
bbb?f(x)p(x)dx?ma?p(x)dx?f(c)a?p(x)dx
a根据同样的道理，假若f(x)p(x)?Mp(x)(a?x?b)，也会得出同样的结论.
在上一节的积分性质⑻中说，若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则变上限积分
xF(x)??f(t)dt(a?x?b)a
关于上限x是连续函数，但F(x)不一定是可微函数[如例2中函数U(x)在点0不可微分].现在，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有下面更强的结论.
定理4-5 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限积分
xF(x)??f(t)dt(a?x?b)a
关于上限x有导数，且F?(x)?f(x).[导数等于被积函数在上限的值]
证 对于任意x?[a,b]，设x??x?[a,b]，则
x??xx?F(x)?F(x??x)?F(x)??f(t)dt?a?f(t)dt
a????xx??x?f(t)dt?a?x?f(t)dt???xx??x?f(t)dt?a?f(t)dt?f(c)?x
x其中c?c(x)在x与x??x之间（定理4-3），且当?x?0时有c?x.因此，
F?(x)?lim?F(x)?x?limf(c)?f(x)
c?x?x?0推论(原函数的存在性) 若f(x)在区间[a,b]上是连续函数，则它在区间[a,b]上有原函数.而原函数之一就是变上限积分
x?
f(t)dt?F(x)(a?x?b)
a153