发布时间 : 星期日 文章2017-2018学年八年级数学上册第14章 整式乘法与因式分解综合复习 - 图文更新完毕开始阅读753c456168eae009581b6bd97f1922791688be06
《整式乘法与因式分解》综合复习 一、复习目标 1．掌握幂的运算性质、整式乘法法则和因式分解的定义与方法，通过观察、归纳、实验、概括、逆向思维等，发展对问题的探究能力； 2．能够运用幂的运算性质、整式乘法法则和乘法公式正确、合理地进行有关计算；理解整式乘法和 因式分解的关系，能用提取公因式法和公式法对多项式进行因式分解； 3．了解零次幂和负整数次幂的意义，会用负整数次幂对一些较小的数用科学记数法加以表示； 4．通过幂的运算性质的归纳概括过程、整式乘法法则的归纳概括过程等，发展归纳思维和推理能力，通过从整式乘法法则到乘法公式的推导过程，发展演绎思维和推理能力，通过对整式乘法和多项式的因式分解的关系的认识，发展从正、逆两个方面认识事物的能力。 二、知识结构网络 多项式乘多项式 因式分解 公式法 逆用乘法公式 提公因式法 逆用乘法分配律 乘法公式 积的乘方：(a?b)m?am?bm 幂的运算性质 同底数幂相乘：am?an?am?n 幂的乘方：(am)n?amn 整 单项式乘多项式 用分配律转化 单项式乘多项式 式的乘法
用分配律转化 (a?b)(a?b)?a2?b2(a?b)2?a2?2ab?b2
三、基础知识回顾 1．幂的运算性质 mnm?n、n、（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为：a?a?a（m为正整数）。 mnmn(a)?a（2）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用字母表示为：（m、n都是正整数）。 nnn(ab)?ab（n（3）积的乘方的法则：积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母表示为：是正整数）。 mnm?n（4）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母可表示为：a?a?a（a?0，m、n是正整数）。 0（5）零指数幂的意义：a?1（a?0），即任何非零数的0次幂都等于1。 （6）负整数指数幂的意义：2．整式的乘法 a?p?1ap（a?0，p是正整数），即何非零数的?p次幂，都等于这个数的p次幂的倒数。 （1）单项式乘以单项式的法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数不变，作为积的因式。 （2）单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律用单项式的去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式乘以多项式的法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 3．乘法公式 22（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用公式表示为(a?b)(a?b)?a?b。 平方差公式的结构特征是：公式左边的两个二项式中，一项完全相同，一项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方。 （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方等于它们的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍，用公式表示为(a?b)2?a2?2ab?b2。 完全平方公式的结构特征是：两个公式的左边是一个二项式的完全平方，二者仅有一个“符号”不同,右边都是二次三项式,其中有两项是左边二次项中每一项的平方,中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍, 二者也只有一个“符号”不同. 4．因式分解 （1）定义：因式分解指的是把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式。 （2）因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然它们都是恒等变形，但却是互逆的两个过程。鉴于因式分解与整式乘法是互逆变形，因此可将因式分解的结果运用整式乘法还原成多项式，以检验因式分解的结果是否正确。 （3）因式分解的方法：提公因式法和公式法。
（4）因式分解的一般步骤：在分解因式时，要注意观察题目本身的特点，按一定的思维顺序正确选择因式分解的方法。给一个多项式，首先看是否有公因式，有公因式先提取公因式（公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；公因式的字母取各项中都含有的字母，并且相同字母的指数取次数最低的），再看这个多项式是几项式，如果是二项式，就考虑能否运用平方差公式；如果是三项式，就考虑能否运用完全平方公式分解因式。需要注意的是在提取公因式后，要看括号内剩下的式子能否运用公式接着分解，需要强调的是，一定要分解到每一个因式都不能分解为止。 四、重点、难点提示 重点：本章的重点是整式的乘除法，尤其是其中的乘法公式，以及用提公因式法和公式法分解因式。 难点：本章的难点是乘法公式以及整式乘法和因式分解的区别与联系。 五、思想方法总结 1．由特殊到一般的思想 本章中许多结论的得出都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共性，再加以推广，最后概括出一般化的结论，如同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方的性质都是由特殊到一般的探讨过程得出的。 2．转化思想 在本章的学习和研究中，多次用到了转化思想，例如：单项式乘以单项式问题，要转化为有理数乘法；同底数幂相乘问题、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，都要转化为单项式乘法等。 3．逆向变换思想 本章所学的公式和法则均既可正向运用，又可逆向运用，学会逆用公式或变式运用公式，往往能使运算简便。 4．数形结合思想 “数无形，少直观，形无数，难入微”。对于本章中一些整式乘法的法则及乘法公式的理解，若借助于几何图形可以起到直观、形象的效果，能使学生从数、形两方面更深一层的理解和记忆。 六、注意事项 1．要正确区分幂的底数，如(?a)的底数是?a，而?a的底数则是a； 332．要注意区分各种运算法则，尤其是幂的运算性质，不要将幂的乘方与积的乘方相混淆，注意省略的指数是1，而不是0； 03．幂的运算性质a?1成立的条件是a?0，而同学们往往忽视这一条件。 4．明确公式的结构特征是正确运用公式的前提条件，只有明确了结构特征，才能在不同的情况下正确运用公式。乘法公式中的字母a,b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。明确了这一点，就可以在更广的范围内应用乘法公式，例如在计算(x?2y?z)(x?2y?z)时，可将x?2y视为公式中的a，将z视为公式中的b，再用平方差公式展开。 5．提公因式的依据是乘法的分配律，提公因式时，容易出现“漏项”的错误，检查是否漏项的方法，最好是用单项式乘以多项式的法则乘回去，进行验证。也可以看看提公因式后，括号内的项数是否与原多项式的项数一致，如果项数不一致，就说明漏项了。 6．因式分解必须是恒等变形，因式分解必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
七、典型例题分析 （一）考查幂的有关运算 例1．下列运算正确的是（ ） 34722223412A.(x)?x B.x?x?x C.(3x)?9x D. (3x)?6x 343?412(x)?x?x分析：因为A是幂的乘方运算，指数应该相乘，不能相加，即，所以A错误；B是同底数幂相乘，指数2222343?47(3x)?3?x?9xx?x?x?x应相加，即，所以B错误；积的乘方等于积中各因式乘方的积，所以，故C正确，而D不正确。 解：选C。 2003200320.04?[(?5)] 得（ ） 例2．计算 1（A）1 （B）-1 （C）52003? （D）152003 20032003200320032200320032003?[0.04?(?5)]?(?5)0.04?[(?5)]?0.04?(?5)?(?5)分析：逆用积的乘方法则得 ?(?0.2)2003?(?5)2003?[(?0.2)?(?5)]2003?12003?1. 解：选A. 例3．已知22x?1?4x?48，求x的值 分析：解这种有关指数方程的基本方法是：将左右两边变形为两个幂相等的等式，且左右两边幂的底数相同，再根据两个底数相同的幂相等，其指数必定相等列出方程，解这个方程即可。注意到4是2的平方，左边可写成关于2的幂的形式，右边也可写成2的幂的形式，利用幂的性质就能解决此问题。 解：?22x?1?4x?2?22x?(22)x?2?22x?22x?3?22x，又?22x?1?4x?48，?3?22x?48，?22x?16，?22x?24，即2x?4,x?2。 （二）考查整式的乘法运算 m?1n?22n?12m53(ab)?(ab)?ab,求m?n的值. 例4．若分析：先利用单项式乘以单项式的法则求出(a值。 m?1n?2b)?(a2n?1b2m)，再由指数对应相等，建立方程组，即可求出m、n的m?1n?22n?12mm?2n2m?n?2m?1n?22n?12m53(ab)?(ab)?ab(ab)?(ab)?ab， 解：因为，又因所以am?2n2m?n?2b?m?2n?5?m??1??532m?n?2?3n?3，所以m?n??1?3?2。 ?ab，故?，解得?例5．有这样一道题：“计算：(2x?3)(3x?2)?6x(x?3)?5x?16的值，其中x?2005。甲同学把 “x?2005”错抄成“x?2050”，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？