发布时间 : 星期一 文章41.复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 【教师版】(正式版)更新完毕开始阅读73f937a60d22590102020740be1e650e53eacf0e
高三第一轮复习 复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数
的开方运算（教师版）（正式版）
【课前预习】
一、知识梳理
1.复数的模的几何意义：复数z?a?bi(a,b?R)的模|z|?a2?b2，它的几何意义是点Z(a,b)到原点O(0,0)的距离。
2.复数减法的模的几何意义：z1?a?bi,z2?c?di,a,b,c,d?R， 在复平面上对应的向
???????????????22量分别是OZ1,OZ2，|z1?z2|?(a?c)?(b?d)?|Z2Z1|?|Z1Z2|，所以复数z1,z2在复平面上两点间的距离就是：|z1?z2|
点分别是Z1,Z2
(1)线段Z1Z2的垂直平分线方程：|z?z1|?|z?z2|； (2)以Z1为圆心，半径为r的圆方程：|z?z1|?r；
(3)以Z1、Z2为焦点，长轴长为2a(a?0)的椭圆方程：|z?z1|?|z?z2|?2a，其中
3.常见几何图形的复数表达式：复数z1、z2为定值，且z1?z2，z1,z2在复平面上所应的
0?|z1?z2|?2a；
(4)以Z1、Z2为焦点，实轴长为2a(a?0)的双曲线方程：||z?z1|?|z?z2||?2a，其中|z1?z2|?2a。
4.一元二次方程ax?bx?c?0(a,b,c?R,a?0)
2?b?b2?4ac(1)??0?方程有两个不相等的实数根x1,2?; 2a?b(2) ??0?方程有两个不相等的实数根x1,2?;
2ab4ac?b2(3) ??0?方程有两个共轭虚根x1,2???i.
2a2a注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;
②解实系数一元二次方程,首先要判断?的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.
5.实系数一元二次方程根与系数的关系:
b?x?x???12a?2设方程ax?bx?c?0(a,b,c?R,a?0)的两根为x1,x2?C,则? (?)
c?xx?12?a?注:①x1,x2?R时(?)式成立,x1,x2为虚数时(?)式也成立;
bc2②若x1为虚数,则x2?x1,且x1?x2?2Rex1??;x1x2?|x1|?
aa6.复数的开方运算
(1)复数的平方根
如果复数a?bi和c?di(a,b,c,d?R)满足:(a?bi)?c?di,称a?bi是c?di的一个平
1
2高三第一轮复习 复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算
方根.
(2)复数的立方根
3若复数z1,z2满足:z1?z2,则称z1是z2的一个立方根.1的立方根是1,?,?2.其中
????123i，具有性质?3?1,?2??,1????2?0. 2二、基础练习
21.(1)已知|z|?1，|z?i|的最大值为 ．
(2)已知复数z满足|z?1|?1,那么z的轨迹是 ．（用文字描
述）
以复数z?1所对点(1,0)为圆心，1为半径的圆
2.(1)在复数集内,方程x?2x?3?0的解集为_____{?1?2i,?1?2i}_______. (2)在复数集内分解因式:2x?x?3?____2(x?221?23i1?23i)(x?) ____. 442(3)若实系数一元二次方程的根为x1?1?3i,x2?1?3i,则这个方程为( B ) A. x?2x?2?0 B.x?2x?4?0 C.x?2x?2?0 D.x?2x?4?0 3.(1)若3?2i是方程2x?bx?c?0(b,c?R)的一个根,则c等于___26___. (2)方程2x2?8x?t?1?0(t?R)的一个虚根的模为5,则t=____9______. 4.5?12i的平方根为_?(3?2i)__.
5.设?是方程x?x?1?0的根,则1??????????422231002222?__?123i__. 26.(1)方程x?5x?6?0在复数集内的根的个数为( C ) A.2 B.3 C. 4 D.5
(2)“?2?a?2”是“实系数一元二次方程x2?ax?1?0有虚根”的( A ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.(1)若复数z满足|z?3?3i|?3，则|z|的最大值是___________， 最小值是___________．
(2)若复数z满足|z?i|?|z?i|?2，则|z?i?1|的最大值是_______，最小值是________． (3)集合M?{z||z?1|?1,z?C},P?{z||z?i|?|z?i|,z?C}，则M?P?_______． 解：(1) |z?3?3i|?3，即|z?(?3?3)|i?3表示以点A(?3,3)为圆心，以3为半径的圆．|z|表示圆上的点Z与原点O之间的距离，|OA|?23， 所以所求最大值是
33，最小值为3．
(2) |z?i|?|z?i|?2表示线段BC,B(0,?1),C(0,1),|z?i?1|表示线段BC上的点Z 到
点D(?1,?1)的距离，则所求最大值为5，最小值为1．
(3)集合M表示以点E(?1,0)为圆心，以1为半径的圆，集合P表示实轴，实轴与圆交于点(0，0)和(-2，0)，则M?P?{0,?2}．
8.方程3x?6(m?1)x?m?1?0的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m的值为____2______.
【例题解析】
例1. 在复数集中解关于x的方程：
22(1)2x2?3x?4?0;(2)x2?mx?4?0．(m?R)
分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况．
2
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解 (1)???b?4ac??23?0，所以该方程有一对共轭虚根， 所以方程的根为：x1??(2)??m?16，
22323323?i,x2???i． 4444?m?m2?16当??0时，即m?4或m??4时，x1,2?；
2当??0时，即m??4，若m?4,x??2；若m??4,x?2；
m16?m2当??0时，即?4?m?4时，x1,2???i．
22
2例2. 已知方程x?px?1?0（p?R）的两根为x1，x2，若|x1?x2|?1，求实数p的值.
p?p2?4p?p2?4解：（1）当??p?4?0，即p?2或p??2时，x1? ,x2?2222则|x1?x2|?p?4，由p?4?1?p??5
222p?4?pip?4?pi2（2）当??p?4?0，即?2?p?2时，x1? ,x2?2222则|x1?x2|?4?p，由4?p?1?p??3
综上p??5或?3。
例3.已知t?R且关于x的方程x?2x?t?0的两个根分别为?,?，求|?|?|?|． 分析 在求|?|?|?|的表达式时，方程的根?,?是实数还是虚数，在变形时方法完全不同．所以很有必要区分?,?是实根还是虚根，即对t分类讨论． 解 ??4?4t,?????2,???t． 当??0即t?1时， ?,??R，|?|?|?|?22(|?|?|?|)2??2??2?2|??| (0?t?1),??2?(???)?2???2|??|?4?2t?2|t|??
??21?t(t?0).当??0即t?1时， ?,?为一对共轭虚根，???,|?|?|?|．
???????|?|2，则|?|?t,|?|?|?|?2t．
?2?综上可知： |?|?|?|??21?t??2t
例4.已知关于x的方程x?(1?2i)x?(3m?1)i?0有实根，求纯虚数m的值.
分析 关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。即方程的根满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相等来解题．
解 设实数根为x0，又设m?bi(b?0,b?R)，代入原方程整理，得：
3
2(0?t?1),(t?0),(t?1).
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2(x0?x0?3b)?(2x0?1)i?0,?x0,b?R，由复数相等的定义， 2?111?x0?x0?3b?0,i。 得? 解方程组，得x0??,b?，?m?21212??2x0?1?0.
iz1?b,z1?A,b?R}。 2(1)若A?B??，求实数b的取值范围；（b?2?22或b?2?22） (2)若A?B?B，求实数b的取值范围。（b＝２）
例5.已知两个复数集合A?{z||z?2|?2},B?{z|z?
【巩固练习】
1.(1)k?R,方程x2?(k?3i)x?4?k?0一定有实数根的充要条件是( D ) A.|k|?4 B.k?2?25或k?2?25 C.k??32 D.k??4 (2)对关于x的方程x2?px?q?0,下列说法正确的是(C ) A.若方程有实根,则p2?4q为非负实数;
B.若虚数z0为方程的一个根,则z0为方程的另一个根; C.若方程有两个实数根,则p,q都不是虚数; D.若p,q为虚数,则方程两根均为虚数;
22.若|z|?1，则|z?2?i|的取值范围是 ．
3.方程(2?i)x?(5?i)x?(2?2i)?0的实数解为___2____.
4.(1)-8的平方根为 ，立方根为 .
[5?1,5?1]?22i，?2,1?3i,1?3i
2000(2)已知?,?为1的两个虚立方根，则???2000?_____-1_______.
2155.满足|2z?1|?|z?i|的复数z对应的点的轨迹方程是 (a?)2?(b?)2 . ?3396.(1)解关于x的方程x2?ax?4?0(a?R).
1122解：当a??4或a?4时x?(a?a?16)；当?4?a?4时x?(a?16?ai)
22(2)解关于复数z的方程: |z|?z?解: 设z?a?bi(a,b?R),
则原方程化为a2?b2?a?bi?2?4i?b?4,
则a2?16?a?2?a2?16?2?a?a?3, 符合a??2,因此z?3?4i.
7.已知关于x的实系数方程x2?kx?k2?3k?0有一个模为1的虚根，求实数k的值.
10. 1?2ik?3?13 2a，i8.已知关于x的实系数方程一元二次ax2?bx?c?0有两个虚根x1,x2，且1(3?)aiic??|x1?x2|?1，求实数b的值.
解：a?1,c?3,|x1?x2|?12?b2?1?b??11. 9.设关于x的方程3x?6(m?1)x?m?1?0的两根的模的和为2,求实数m的值.
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