发布时间 : 星期四 文章人教版数学九年级下册第二十八锐角三角形导学案更新完毕开始阅读738b9a545901020207409cba
28.1锐角三角函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.初步了解正弦、余弦、正切概念.
2.能较正确地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
3.熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数. 【重点难点】
1.正弦，余弦，正切概念
2.用含有几个字母的符号组sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切 知识概览图
锐角三角函数锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数 特殊角的三角函数值
同角、互为余角的三角函数关系
sin2 A＋cos2 A＝1
sin(90°－A)＝cos A，cos(90°－A)＝sin A
锐角三角函数值的变化情 况及取值范围
新课导引
【生活链接】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为了使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管?
【问题探究】 这个问题可以归结为：如右图所示，在Rt△ABC90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB．根据“在直角三角形中，30°角边等于斜边的一半”，即
∠A的对边BC1??，可得
斜边AB2长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管? 教材精华
正弦(正切)值随角度的增大而增大 余弦值随角度的增大而减小
O＜sin α＜1，0＜cos α＜1(0°＜α＜90°) tanα＞0(0°＜α＜90°)，
中，∠C＝角所对的直
AB＝2BC＝70 m，也就是说，需要准备70 m
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知识点1 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值 (1)任意画一个锐角A，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个Rt△ABC，如图28－1所示．Rt△ABC中的三条边每两边构成一个比，一共可以得到如下六个比例式：
BCACABACABBC，,,,,. ABABBCBCACAC(2)在锐角A的AB边上再另取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，从而得到另一个Rt△AB1C1，Rt△AB1C1中的三条边也构成如下六个比例式：
B1C1AC1AB1ACABBC，,, 1，1,11. AB1AB1B1C1B1C1AC1AC1那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢? ∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴BC∥B1C1，∴Rt△ABC∽Rt△AB1C1， ∴
B1C1BCB1C1BCAC1ACAC1AC?,?,?,?，?都为定值． AB1ABAC1ACAB1ABB1C1BC ∵点B1在AB边上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．
∴当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．
知识点2 正弦和余弦的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值，∠A的邻边与斜边的比值也是一个固定的值．
在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图28－2所示．
(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sin A，即sin A＝
∠A的对边a?.
斜边c (2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦．记作cos A，即cos A＝
拓展 (1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值． (2)正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sin A，cos A是整体符号，不能写成sin2A，cos2A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC． (5)sin2 A表示(sin A)2，而不能写成sin A2． (6)三角函数还可以表示成sinα，cosβ等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．
∠A的邻边b?.
斜边c 点拨 如图28－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．
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由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， 可知BC＝AB，再由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB2＝AC2＋(AB)2，即AC2＝AB2，∴AC＝12343212AB，
13ABABBC21AC32??，cos A＝∴sin A＝??, ABAB2ABAB2即sin 30°＝，cos 30°＝类似地，sin 60°＝
123． 231,cos 60°＝. 22 如图28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， ∴CB＝CA，由勾股定理AB2＝BC2＋AC2， 得AB＝2BC＝2AC，即 ∴sin A＝
BCAC12???． ABAB22∠B＝45°．
BC2AC22??，cos A＝，即sin 45°＝cos 45°＝. AB2AB22知识点3 正切的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图28－5所示．
在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tan A，即tan
A＝
∠A的对边a?.
∠A的邻边b拓展 (1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值． (2)正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)tan A是整体符号，不能写成tan2A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC． (5)tanA表示(tan A)，而不能写成tan A． (6)三角函数也可以表示成tan α等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正切值．
点拨 如图28－6所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
1AB31BC32 ∴BC＝AB，AC＝AB；∴tan A＝. ??22AC33AB2第3页
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类似地，tan B＝即tan 30°＝AC?3. BC3，tan 60°＝3. 3如图28－7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°． ∴∠A＝∠B，∴CA＝CB， ∴tan A＝
BCAC＝1，tan B＝＝1，即tan 45°＝1． ACBC知识点4 锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
(1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化． (2)由定义可知，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，tan A＞0．
令y＝sin A，y＝cos A，y＝tan A，则函数中自变量的取值范围均为0°＜A＜90°． 函数的增减性分别为：
①y＝sin A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大． ②y＝cos A在自变量的取值范围内，y随A的增大而减小． ③y＝tan A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
(3)常见的特殊角的三角函数值如下表：
锐角α 三角函数 sinα cosα tanα 1 23 23 330° 45° 60° 2 22 23 21 23 1 拓展 (1)锐角的三个三角函数都是一个比值．当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变．
(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关．
(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sin A，cos A，tan A．
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