发布时间 : 星期一 文章差分方程模型更新完毕开始阅读731b4488e53a580216fcfe15
?1,2?从而
?ab?(ab)2?8ab42,
?2在单位圆外。下面设ab<8，由（14）式可以算出
?1,2=ab （15）2要使特征根均在单位元内，即?1,2?1，必须
ab?2 (16)
这就是P0点稳定的条件，与原有模型中P0点稳定的条件（9）式相比，参数a的范围放大，另外。可以想到，这是因为生产者的管理水平和素质提高，对市场经济的稳定起着有利影响的必然结果。
7.2 差分形式的阻滞增长模型
微分方程
dx?rx(1?x/N) (1) dt描述受到环境约束的所谓“阻滞增长”的规律，即Logistic规律，这种约束随着对象本身数量x的增加而增加，人口或其他生物在有限资源环境下的增长，传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限市场上的销售等等现象，都可以合理的、简化的用这个模型描述。 现实对象有时用离散化的时间研究起来比较方便，例如有些生物每年在固定的时间繁殖，我们用繁殖周期作为时段来研究其增长规律就比用连续时间方便，于是需要阻滞增长的离散模型，将 方程（1）的微分用差分形式来表示，就有
yk?1?yk?rx(1?x/N),k?0,1,2,? （2）
这里用yk 而不用xk 是为了下面记号的方便，r和N的含义分别是固有增长率和最大容量. (2)式可进一步写作
yk?1?(r?1)yk[1?令
ryk] (3)
(r?1)Nb?r?1 (4)
xk=
则（3）式可化简为
ryk (5)
(r?1)Nxk?1?bxk(1?xk),k?0,1,2,? （6）
（6）式是一阶非线性差分方程，在实际应用中没有必要找出方程（6）的一般解，因为给
定初值x0 后利用计算机可以方便的有（6）递推算出xk，k=1,2,3,……
事实上，在应用差分形式的阻滞增长模型（2）或（6）时，人们最关心的通常是k—>?时
yk或xk的收敛情况，即方程平衡点的稳定性的问题，本节主要讨论这个问题，
我们知道，对于微分方程（1）x?N是稳定平衡点 ，x?0 是不稳定平衡点，即不论 r和N 为何值，当t—>?时 都有x(t) —>N. 那么对于方程 (1) 的差分形式(2)是否也有同样的性质,即k—>?时 都有yk —>N.呢？下面将会看到，回答这个问题并不简单，而且将引出一个十分有趣的现象，
平衡点及稳定性 代替（2） 我们讨论方程（6） 的平衡点及其稳定性的平衡点， 解代数方程
**x?f(x)?bx(1?x) (7)
容易得到 (6)的非零平衡点为
1x*?1? （8）
b利用（4），（5） 可以验证，x 相当于原方程的非零平衡点y?N。为分析x 的稳定性，
***计算
f'(x*)?b(1?2x*)?2?b （9）
*'*x根据稳定的条件f(x)?1， 立即得到
1?b?3 (10)
**x由此可知仅当（10） 成立时 才是稳定平衡点，有（4）可知它相当于仅当r?2，y?N
才是方程的稳定平衡点 。这与不论r 多大 , x?N 都是微分方程的稳定平衡点是不同的。
*x在条件(10) 下xk 收敛于的状况可以通过方程(6) 的图解法清楚的表示出来，以
?x 为横
坐标做y?f(x)?bx(1?x) 和y?x的图形，曲线y?f(x) 和直线y?x 交点的横坐标为平衡点
x* 对于初值xx*<1/2, xk0由方程求x1，x2…… 的过程表示为图上带箭头的折线，当
1?b?2时
?
x* 的过程基本上是单调的，而当2?b?3时x*>1/2,
*xxk?， 的过程则会出现形如蛛网模型图7-1那样的衰减振荡。
*x当b>3时， 虽然方程（6）仍可形式的求解， 但 不稳定 ，其图解法如图7-4所示出
现形如蛛网模型图7-2那样的发散振荡。
事情到此并未完结 ，让我们对不同的b值， 用方程（6）做一些计算，观察xk 的变化趋势
程序见附录7.1
图7-4 方程（6）的图解法
数值计算 有小到大取不同的数值 ，用方程（6）做计算 ，结果见附录7.2，程序见附录7.3。
可以看出 ，对于b=1.7和b=2.6, xk 单调的和振荡的趋向极限0.4118 和0.6154，与
*x图1 分析的现象一致， 这两个极限只也与（8） 得到的平衡点 相同 ，对于b=3.3, xk
好像有两个收敛的子列，分别趋向于极限值0.4794 和0.8236 对于b=3.45和b=3.55似乎分别有 4和8个收敛的子序列 ，而对于b=3.57, xk 的变化就没有什么规律了。下面让我们从理论上对b>3的情况做进一步的分析 倍周期收敛 如果称b<3时，xk->
x* 是 为单周期收敛, 那么存在两个收敛的子序列就
xk?1?f(xk) (11)
可以称为2倍周期收敛，一般把方程表示为
在讨论2倍周期收敛时应考察
xk?2?f(xk?1)?f(f(xk))?f(2)(xk)? (12)
为了求方程（12）的平衡点 对于我们的模型（6）要解代数方程
x?f(f(x))?b?bx(1?x)[1?bx(1?x)] (13)
***(2)*xxx因为方程(12)的平衡点满足= f(x)， 所以除了零点和原来的=1-1/b 是它的
平衡点外，满足
****=f(x2= f(x1x1), x2) (14)
*x1的点，x*也是（12）的平衡点，x*21,2 可由（13）解得
b?1?b2?2b?3 （15） x?2b*1,2不难验证 当b>3时 0 x* 2*x下面在b>3 下讨论这些平衡点的稳定性， 显然是不稳定的，对于x* 和x* 因为 12(f(2)(x))'*x?x1**?f'(x2)f'(x1)，(f(2)(x))'*x?x2**?f'(x1)f'(x2) **故x1和x2的稳定性相同，再由 (f(2)(x))'和稳定判据(f (2)*'**x?x2,x1**?b2(1?2x1)(1?2x2) （17） (x1,2))?1，并将（15）代入（17）可得 *x1,2的稳定条件为 b?1?6?3.449 (18) 有上述计算可知, 当3?b?3.449a时，虽然x不稳定，但是 **x1,2 是方程的稳定平衡点即 xk， xk?2，……——> *x1*,于是对于原方程(6), x1,2{ xk}是序列的两个子序列的极限，即 ****或x2， 以b=3.3代入（15）式，可得x1=0.4794, x2=0.8236,x2k和x2k?1分别趋向于x1与数值计算中的结果相同，以上的迭代过程也可以从方程的图解法中看到。 作为生物数量阻滞增长的离散模型，以上结果表明 ，当固有增长率2?r?2.449时，从一个繁殖周期的角度看，其数量增长是不稳定的，即没有极限。但从两个繁殖周期的角度看，却实稳定的，这就是所谓的2被周期收敛。 读者不难想到，当b>3.449时 *x1,2 不再是方程（12）的稳定平衡点，从而对于方程（6） 来 说2倍周期也不收敛了，但是可以讨论4倍周期收敛，进一步考察方程 xk?4?f(4)(xk) （19） 用类似的方法可得， 当 3.449?b?3.644 （20） 时（19）有4个稳定平衡点，数值计算中b=3.45 就是这种情况 于是对于原来的模型(6)