发布时间 : 星期五 文章高三数学 指数、对数方程，任意角的三角函数，三角函数的定义域和值域 知识精讲更新完毕开始阅读71b83f2a68dc5022aaea998fcc22bcd126ff428d
高三数学 指数、对数方程，任意角的三角函数，三角函数的定义域和值域 知识精讲
一. 指数、对数方程
1. 指数方程和对数方程主要有以下三种基本类型 （1）基本型
af(x)?b?f(x)?logab；
b logaf(x)?b?f(x)?a
（2）同底型
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x)；logaf(x)?logag(x)?f(x)?g(x)?0
（3）换元型 f(ax)?0或
f(logax)?0（以上各式均为a?0且a?1）如A(ax)2?B(ax)?C?0可设t?ax转化为At2?Bt?C?0，求出t再用基本型的解法
求解。
2. 求解指对方程应注意以下几点：
（1）复习本节内容时需再重温一下指数和对数的性质和运算法则，因为任何一个指数和对数方程经过运算和化简，都会化到下列二种类型： <1>两边同底的形式 af(x)?ag(x)，logaf(x)?log4g(x)，然后利用指数、对数函数的单调性，去掉指
f(x)2数、对数函数符号，化成一般的代数方程；
<2>化成关于某个函数的一元二次方程：p(a)?q(af(x))?r?0和
p(logaf(x))2?qlogaf(x)?r?0，可以通过换元法把它们化成一元二次方程。
（2）对于含参数的对数方程，在求解时，先将原方程等价转化成某个混合组，并注意
在等价转化的原则下化简。
（3）具体解一个含有参数的方程，可从四个方面下手：
<1>直接求出其解，再把解代入到不等式中去，从而得到参数的取值范围； <2>将所讨论的方程转化为一元二次方程的根的分布问题；
<3>数形结合法，把含参数的部分移到另一边，在同一坐标系里画出等式两边函数的图像，方程有解转化成两个图像有交点的问题； <4>分离参数法，从方程中把参数分离出来变成a?f(x)的形式，只须研究f(x)有关的性质，即可得方程的解的情况。
（4）运用分类讨论思想要把握三点：
<1>掌握好分类的标准（按什么进行分类）； <2>注意不重不漏； <3>注意结果的检验。
（5）无论在何时何地解有关对数方程一定要注意验根。
二. 任意角的三角函数 1. 角的概念的推广
（1）终边相同的角：{?|????k?360?，k?Z}表示与角?终边相同的角的集合。 （2）象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。
（3）坐标轴上的角：角的终边落在坐标轴上的角，也称轴限角，这个角不属于任何象限。
终边落在x轴上的角{?|??k?，k?Z}，终边落在y轴上的角
{?|??k???2，k?Z}。
2. 弧度制
（1）意义：圆周上弧长等长半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，它将任意角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。 （2）弧度与角度的互换 180???弧度，1??(?180)弧度，1弧度?(180?)??57?18'
（3）弧度公式，扇形面积公式： l?|?|?r S扇形?11l?r?|?|?r2 22 3. 任意角的三角函数
（1）定义：设P（x，y）是角?的终边上任意一点，且|PO|?r，则
y，cos??r
rcsc??，sec??ysin??x，tan??rr，cot??xyx xy （2）三角函数的符号与角所在象限有关，如下表所示。
象 限 函 数 符 号 I II III IV sinα，cscα cosα，secα tanα，cotα ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － ＋ － ＋ －
规律：一全正，二正弦，三双切，四余弦。
4. 应用时应注意以下几点： 重点难点：
角的范围的讨论及三角函数的定义的理解是三角的重要内容；而度数与弧度数的互化，弦长公式，扇形的面积公式的应用是难点内容，应注意熟练掌握。 （1）在讨论角的范围，不要遗漏坐标轴上的角； （2）角
?终边所在的位置与?终边的位置及k的取值有关，要对k的取值结合?的2范围情况进行讨论。
（3）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。
三. 三角函数的定义域和值域
1. 正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域 解析式 定义域 值域 y＝sinx R [－1，1] y＝cosx R [－1，1] y?tanx {x|x?k??R ?2,k?Z} y?cotx {x|x?k?,k?Z} R 2. 用单位圆中的线段表示三角函数值
（如图）设任意角?的终边与单位圆相交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交角?的终边或其反向延长线于T，则有向线段MP，OM，AT，分别称为角?的正弦线，余弦线，正切线。 yPOMATxPOMTAxMOPAyyTxOMAPxyT 利用单位圆解三角不等式的一般方法是： （1）用边界值定出角的终边位置。 （2）根据不等式定出角的范围。 （3）求交集，找单位圆中重叠的部分。 （4）写出角的表达式。 3. 三角函数的定义域
求函数的定义域通常是解不等式组和用“数形结合”，借助于数轴画成求交集的方法进行，在求三角函数的定义域，同样可利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，或作出三角函数的图像，求表示各三角不等式解集的区域的交集来完成。 注意：三角函数本身的特征和性质。 4. 综合运用
求函数（含有三角函数如正弦、余弦）的值域所涉及的数学思想，数学方法及变形技巧非常丰富；除了前面一章介绍的判别式法，配方法，换元法，重要不等式，单调性等方法之外，还要结合三角函数本身的特点，常有如下方法：
（1）将所给的三角函数转化为二次函数再通过配方法求值域。 例如转化为y?a(sinx?b)?c形的值域问题。 （2）利用sinx，cosx的有界性求值域。 如y?acosx?bsinx?2a2?b2sin(x??)（x?R，?由tan??a及（a，b）所b在象限确定）的值域是y?[?a2?b2，a2?b2] 若x的范围有所限制，则函数的值还要进一步讨论。
例1. 方程log4(3x?1)?log4(x?1)?log4(3?x)的解是________。
（2000年春，上海）
解析：由对数运算法则得，原方程??
?log4(3x?1)?x?1
再由同底数对数相等，当且仅当它们的真数相等，则
?x?1? ?3x?1?0
??3x?1?(x?1)(3?x)??x?1 即?
2??x?x?2?0 解得x?2
经检验x?2是原方程的根 所以x?2
说明：解指对方程时，特别是对数方程，应注意等价转换（不能漏掉条件）。
例2. （1994全国，4）
设?是第二象限角，则必有（ ） A. tg?2?ctg?2
B. tg?2?ctg?2
C. sin?2?cos?2D. sin?2?cos?2 解：方法一：因为?为第二象限角，则2k???2???2k???(k?Z)，即
?为第一2象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图，所以tgy?????2?ctg?2。 O5?4x3?2 方法二：由已知得2k???2???2k???，k???4 ??2?k???2，k为奇数时，2n??有tg5??3??????2n??(n?Z)，k为偶数时，2n????2n??(n?Z)，都422422?ctg?2?2，故选A。
说明：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，源于课本，高于课本。