发布时间 : 星期六 文章高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第5节综合法分析法反证法数学归纳法教学案理北师大版更新完毕开始阅读70e40d43d5d8d15abe23482fb4daa58da1111cfb
[证明] 要证a＋b＜1＋ab， 只需证(a＋b)＜(1＋ab)， 只需证a＋b－1－ab＜0， 即证(a－1)(1－b)＜0.
因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 考点3 反证法的应用 用反证法证明问题的步骤
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立．(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
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设a>0，b>0，且a＋b＝＋. 2
2
ab证明：(1)a＋b≥2；
(2)a＋a<2与b＋b<2不可能同时成立．
11a＋b[证明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
2
2
abab(1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2ab＝2， 即a＋b≥2.
(2)假设a＋a<2与b＋b<2同时成立， 则由a＋a<2及a>0， 得0 故a＋a<2与b＋b<2不可能同时成立． (1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证． (2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等． 2 2 2 2 2 5 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn； (2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． [解] (1)设等差数列{an}的公差为d. Snn?a1＝2＋1， 由已知得? ?3a1＋3d＝9＋32， 所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)(n∈N＋)． (2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2， 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr. 即(q＋2)＝(p＋2)(r＋2)， 所以(q－pr)＋2(2q－p－r)＝0， 因为p，q，r∈N＋， ??q－pr＝0，所以? ?2q－p－r＝0，? 22 2 2 Snn 所以? ?p＋r?2＝pr，(p－r)2＝0， ??2? 所以p＝r，与p≠r矛盾， 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． 考点4 数学归纳法的应用 (1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 ①当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． ②用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法． (2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性． (2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝ an，n∈N＋，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2n，n∈N＋. 2bn 6 [解] (1)设数列{an}的公差为d， ??a1＋2d＝4， 由题意得? ??a1＋3d＝3a1＋3d， 解得a1＝0，d＝2， ∴an＝2n－2，n∈N＋. ∴Sn＝n－n，n∈N＋. ∵数列{bn}满足：对每个n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列， ∴(Sn＋1＋bn)＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)， 12 解得bn＝(Sn＋2－SnSn＋2)， 2 2 d即bn＝n＋n，n∈N＋. (2)证明：cn＝ 2 an＝2bn2n－22nn＋1 ＝ n－1 ，n∈N＋， nn＋1 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立； ②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立， 即c1＋c2＋…＋ck＜2k， 则当n＝k＋1时， c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1＜2k＋ 2 kk＋1 k＋2 ＜2k＋ 1 ＜2k＋k＋1 k＋1＋k＝2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1， 即n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②得c1＋c2＋…＋cn＜2n，n∈N＋. 用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化． [教师备选例题] 111 1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋ 2×44×66×82n(n∈N＋)． [证明] ①当n＝1时， 左边＝ 11＝， 2×1×2×1＋28 1 ＝ 2n＋24 n n＋1 7 右边＝ 11 ＝， 4×1＋18 左边＝右边，所以等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 111＋＋＋…＋2×44×66×82k1 ＝ 2k＋24 k， k＋1 1 ＋ 2k＋22 111 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋ 2×44×66×82k＝＝＝＝ k＋1 1 [2k＋1＋2] k1 ＋ 4k＋14k＋1k＋2kk＋2＋1 4k＋1k＋2 k＋1 4 2 k＋1 ＝ k＋24 k＋1 k＋2 k＋1 . 4[k＋1＋1] 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②可知对于一切n∈N＋等式都成立． 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝b＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图像上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的n∈N＋，不等式 xb1＋1b2＋1bn＋1··…·＞n＋1成立． b1b2bn[解] (1)由题意得，Sn＝b＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1 n＋r. (b－1)． 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1 由于b＞0，且b≠1， 所以n≥2时，数列{an}是以b为公比的等比数列． 又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以＝b，即 a2 a1bb－1 ＝b，解得r＝－1. b＋rn－1 (2)证明：由(1)及b＝2知an＝2因此bn＝2n(n∈N＋)， . 2＋14＋12n＋1 所证不等式为··…·＞n＋1. 242n 8