发布时间 : 星期六 文章高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第5节综合法分析法反证法数学归纳法教学案理北师大版更新完毕开始阅读70e40d43d5d8d15abe23482fb4daa58da1111cfb
第五节 综合法、分析法、反证法、数学归纳法
[最新考纲] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．综合法、分析法 内容 综合法 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推分析法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直定义 理，一步一步地接近要证明的结论，到归结为这个命题的条件，或者归结直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 实质 由因导果 为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 执果索因 P?Q1→ 框图 表示 Q?P1→P1?P2→…→得到一个明显 成立的条件Q1?Q2→…→ Qn?Q 文字 语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证……即证…… 2．反证法 (1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．
(2)反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． 3．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
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一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( ) (2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a 1 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( ) 2A．1 C．3 B．2 D．4 C [凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.] 2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a， 2 b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( ) A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 B [“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确．] 3．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q C．P 2 2 B．P＝Q D．不能确定 A [假设P>Q，只需P>Q，即2a＋13＋22 a＋6a＋7>2a＋13＋ a＋8a＋5，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立．故 选A.] 4．已知数列{an}满足an＋1＝an－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________， 2 a4＝________，猜想an＝________. 3 4 5 n＋1 [易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.] 考点1 综合法的应用 掌握综合法证明问题的思路 综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导 2 出所要求证结论的真实性． 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. 1 证明：(1)ab＋bc＋ac≤； 3 a2b2c2 (2)＋＋≥1. bca[证明] (1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac， 得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca， 由题设得(a＋b＋c)＝1， 即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 1 即ab＋bc＋ca≤. 3 (2)因为a，b，c均为正数， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2b2c2 ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， bcaa2b2c2 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， bcaa2b2c2a2b2c2 即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. bcabca1222 [母题探究] 本例的条件不变，证明a＋b＋c≥. 3[证明] 因为a＋b＋c＝1， 所以1＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac， 因为2ab≤a＋b2bc≤b＋c2ac≤a＋c， 所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a＋b＋c)， 所以1≤a＋b＋c＋2(a＋b＋c)， 1222 即a＋b＋c≥. 3 (1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2) 应用重要不等式a＋b≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； 2π (2)若C＝，求证：5a＝3b. 3 [证明] (1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sinB， 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 2, 2 2 2 2 2 2 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理， 得a＋c＝2b， 即a，b，c成等差数列． 2π (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 3(2b－a)＝a＋b＋ab，即有5ab－3b＝0， 即5a＝3b. 考点2 分析法的应用 分析法证明问题的思路及适用范围 利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法． 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证： 113＋＝. a＋bb＋ca＋b＋c113＋＝， a＋bb＋ca＋b＋c2 2 2 2 [证明] 要证即证 a＋b＋ca＋b＋c＋＝3， a＋bb＋cca＋bb＋c＋也就是 a＝1， 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c＋a＝ac＋b， 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°， 由余弦定理，得b＝c＋a－2accos 60°， 即b＝c＋a－ac， 故c＋a＝ac＋b成立． 于是原等式成立． (1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c＋a＝ac＋b”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证． 若a，b∈(1，＋∞)，证明a＋b＜1＋ab. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4