发布时间 : 星期一 文章【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第5章 第1讲平面向量的概念及线性运算含解析更新完毕开始阅读70ab258278563c1ec5da50e2524de518964bd3c8
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 答案 ①
规律方法 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
aa(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
|a||a|【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (1)(2017·潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，11
且AP＝AB，BQ＝BC.若→AB＝a，→AC＝b，则→PQ＝( )
3311
A.a＋b 3311
C.a－b 33
11
B.－a＋b
3311D.－a－b
33
→＋
(2)(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足→AM＝2→MC，→BN＝→NC.若→MN＝xAB→，则x＝________；y＝________. yAC 5
→→→2→1→2→解析 (1)PQ＝PB＋BQ＝AB＋BC＝AB＋
3331→→1111
(AC－AB)＝→AB＋→AC＝a＋b，故选A. 33333
111111→→(2)由题中条件得，MN＝→MC＋→CN＝→AC＋→CB＝→AC＋(→AB－→AC)＝→AB－→AC＝xAB323226→，所以x＝1，y＝－1.
＋yAC2611
答案 (1)A (2) － 26
规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么→EF等于( ) 11
A.→AB－→AD 2311C.→AB＋→DA 32
11
B.→AB＋→AD 4212D.→AB－→AD 23
(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若→AO＝λ→AB＋μ→BC，则λ＋μ等于( ) A.1
1
B. 2
1 C. 3
2 D. 3
解析 (1)在△CEF中，有→EF＝→EC＋→CF. 1→→
因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.
2因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点， 2
所以→CF＝→CB.
3
1212
所以→EF＝→DC＋→CB＝→AB＋→DA
2323
6
1→2→＝AB－AD，故选D. 231(2)∵→AD＝→AB＋→BD＝→AB＋→BC，
3111
∴2→AO＝→AB＋→BC，即→AO＝→AB＋→BC.
326112
故λ＋μ＝＋＝.
263答案 (1)D (2)D
考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若→AB＝a＋b，→BC＝2a＋8b，→CD＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. (1)证明 ∵→AB＝a＋b，→BC＝2a＋8b，→CD＝3(a－b).
∴→BD＝→BC＋→CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5→AB. ∴→AB，→BD共线，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线.
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. (2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立. 【训练3】 (1)已知向量→AB＝a＋3b，→BC＝5a＋3b，→CD＝－3a＋3b，则( ) A.A，B，C三点共线 C.A，C，D三点共线
B.A，B，D三点共线 D.B，C，D三点共线
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2→OA 7
→→
＋xOB＋BC＝0成立的实数x的取值集合为( ) A.{0}
B.?
C.{－1}
D.{0，－1}
解析 (1)∵→BD＝→BC＋→CD＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2→AB， ∴→BD、→AB共线，又有公共点B， ∴A，B，D三点共线.故选B.
→＋→(2)因为→BC＝→OC－→OB，所以x2→OA＋xOBOC－→OB＝0，即→OC＝－x2→OA－(x－1)→OB，因为A，B，C三点共线，
所以－x－(x－1)＝1，即x＋x＝0，解得x＝0或x＝－1. 答案 (1)B (2)D
2
2
[思想方法]
1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，→OA，→OB不共线，满足→OP→＋yOB→(x，y∈R)，则P，A，B共线?x＋y＝1. ＝xOA[易错防范]
1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
基础巩固题组 (建议用时：30分钟)
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