发布时间 : 星期四 文章北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学试题 (含答案)更新完毕开始阅读6fd4eff26d1aff00bed5b9f3f90f76c661374cbe
当x??0,m?时，g?x??0，从而f??x??0，所以函数f?x?在?0,m?上单调递增； 当x??m,???时，g?x??0，从而f??x??0，所以函数f?x?在?m,???上单调递减 故函数f?x?在定义域内不是单调函数
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间. 22.已知无穷数列?an?,?bn?,?cn?满足：?n?N*，an?1?bn?cn，bn?1?cn?an，
cn?1?an?bn．记dn?max?an,bn,cn?（max?x,y,z?表示3个实数x,y,z中的最大
值）．
（Ⅰ）若a1?1，b2?2，c3?3，求b1，c1的可能值； （Ⅱ）若a1?1，b1?2，求满足d2?d3的c1的所有值；
（Ⅲ）设a1,b1,c1是非零整数，且a1,b1,c1互不相等，证明：存在正整数k，使得数列
?an?,?bn?,?cn?中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．
?b1?8?b1?8?b1??8?b1??8【答案】（Ⅰ）?或?或?或?；（Ⅱ）所有取值是?2,?1,1,2；
c?3c??3c?3c??3?1?1?1?1（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）依次代入n?2，n?3即可求得c1,a2，根据a2?b1?3??3可确定a2和b1的取值，从而得到结果；
（Ⅱ）记c1?x，可表示出d2，进而得到a3,b3,c3，分别在0?x?1、1?x?2和x?2三种情况下利用d3?d2求得x的取值即可得到结果；
（Ⅲ）假设对任意正整数k?3，ak,bk,ck都不为0，由ak?1,bk?1,ck?1可证得
dk?1?max?ak?1,bk?1,ck?1??dk，得到?dk?严格单调递减；可知必存在正整数m?3，
?使得dm≤0，与dk?N矛盾，从而ak,bk,ck中至少有一个为0；设ak?0，可知
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bk?1?ck?1?ak?1，ck?1??bk??ck，bk?1?ck，则ak?1?0，依次类推可得对?n?k，
an?0，bn?1?ck，cn?1??ck且ck?0，从而证得结论.
【详解】（Ⅰ）由b2?c1?a1得：c1?1?2 ?c1??3 由c3?a2?b2得：a2?2?3 ?a2??5 又a2?b1?c1?b1?3??3，故a2?5，b1??8
?b?8?b1?8?b1??8?b1??8?b1,c1的所有可能值为?1或?或?或?
c?3c??3c?3c??3?1?1?1?1（Ⅱ）若a1?1，b1?2，记c1?x，则a2?2?x，b2?x?1，c2??1
?2?x,0?x?1??d2??1,1?|x|?2
?x?1,x?2?a3?x?1?1，b3?1?2?x，c3?2?x?x?1
当0?x?1时，a3??x，b3?x?1，c3?1，d3?1 由d3?d2得：x?1，不符合；
??2?x,1?x?1.5当1?x?2时，a3?x?2，b3?x?1，c3?3?2x ?d3??
x?1,1.5?x?2??由d3?d2得：x?1，符合；
??1,2?x?3当x?2时，a3?x?2，b3?3?x，c3??1 ?d3??
x?2,x?3??由d3?d2得：x?2，符合； 综上所述：c1的所有取值是?2,?1,1,2.
（Ⅲ）先证明“存在正整数k?3，使ak,bk,ck中至少有一个为0” 假设对任意正整数k?3，ak,bk,ck都不为0
??由a1,b1,c1是非零整数，且a1,b1,c1互不相等得：d1?N，d2?N
?若对任意k?3，ak,bk,ck都不为0，则dk?N
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?即对任意k31，dk?N
当k31时，ak?1?bk?ck?maxbk,ck???dk，bk?1?ck?ak?dk，
ck?1?ak?bk?dk
?dk?1?max?ak?1,bk?1,ck?1??dk ??dk?严格单调递减
Qd2为有限正整数 ?必存在正整数m?3，使得dm≤0，矛盾
?存在正整数k?3，使ak,bk,ck中至少有一个为0
不妨设ak?0，且a1?0，a2?0，……，ak?1?0 则bk?1?ck?1，且bk?1?ck?1?ak?1，
否则，bk?1?ck?1?ak?1，由ak?1?bk?1?ck?1?0，必有ak?1?bk?1?ck?1?0，矛盾
?bk?ck?1?ak?1?0，ck?ak?1?bk?1?0，且bk??ck ?ak?1?0，bk?1?ck，ck?1??bk??ck
依次递推，即有：对?n?k，an?0，bn?1?ck，cn?1??ck且ck?0 此时有且仅有一个数列?an?自第k项起各项均为0 综上，结论成立
【点睛】本题考查数列中的新定义运算问题的求解，涉及到根据递推关系求解数列中的项、数列证明问题中的存在性与唯一性问题的证明；证明有且仅有一个数列满足题意的关键是能够首先证明存在性，即存在数列数列满足题意，再证明唯一性，即满足题意的数列有唯一的一个；本题对学生分析和推理能力有较高的要求，属于难题.
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