发布时间 : 星期日 文章对蠕虫与橡皮绳悖论的评论更新完毕开始阅读6ec7bf00de80d4d8d15a4f9c
L0?v2???t ln?x?1??v2?v1L0??v2?v2??ln?x?1?vL?Lt
0?10?v2t?v1L0?L0?x?e?1?
?v2???到此，我们找到了蠕虫的位移时间关系。 而橡皮绳A端的位移时间关系为：
y?L0?v2t
现在，蠕虫能不能爬到A端的问题转化为z?x?y能否大于零的问题。
容易看出，蠕虫的位移时间关系为指数函数；橡皮绳右端点A的位移时间关系为一次函数关系。指数函数要比一次函数增加的快得多，因此，蠕虫的位移可以等于甚至超过A点的位移。这就是说蠕虫可以爬到橡皮绳的另一端。
上面的讨论是建立在运动连续性的基础上的。 为了准确地求出到达的时间，我们把它们的速度代入上面得到了表达式。
y?L0?v2t?1000?1000t
v2t?et?1v1L0?L0?e x??1????v2100??当x?y时有，
e?10t?10?1
t55解上面的方程就可以得到运动的时间t。
事实上，原文中的用调和级数处理的方法只适用于橡皮绳是跳越性增长的情况。对于连续增长的橡皮绳来说，并不适用。下面的表格说明了这个问题：如果把单位时间等分为10份，则每份里面橡皮绳的跳越性增长量为100m，蠕虫在每份时间里运动0.001m。蠕虫在单位时间里的位移仍为0.01m。而到这个单位时间结束时，橡皮绳的长度为2000m。在这个时候，不是上面所宣称的那样，蠕虫走过了橡皮绳的
1100000，而是橡皮绳的
0.71877100000。
实际的数值比这个数值还要小。因为每份时间还可以再分成10份，然后再分再分……。分的越细致，蠕虫在单位时间里所走的位移占橡皮绳长度的比例就越小（这可以用数学归纳
5
法来证明）。分得无限细时，就得到了上面用微分方程求出来的解。
时间蠕虫运动距离a橡皮绳长la/l累计a/l累计a0-0.10.00110000.00000100000.00000100000.0010.1-0.20.00111000.00000090910.00000190910.0020.2-0.30.00112000.00000083330.00000274240.0030.3-0.40.00113000.00000076920.00000351170.0040.4-0.50.00114000.00000071430.00000422590.0050.5-0.60.00115000.00000066670.00000489260.0060.6-0.70.00116000.00000062500.00000551760.0070.7-0.80.00117000.00000058820.00000610580.0080.8-0.90.00118000.00000055560.00000666140.0090.9-1.00.00119000.00000052630.00000718770.01
二零一一年三月下旬
6