发布时间 : 星期四 文章《离散数学》题库及答案更新完毕开始阅读6e700a230722192e4536f669
因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G 的阶数的因子，故G的子群只能是1 阶的、2阶的、4 阶的或8阶的。因为|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是该子群中a的最小正幂，故G的所有子群除两个平凡子群外，还有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。
22、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试问
解：
23、设
证明：
? c，d?H，则对?c，d?HK，c·a=a·c,d·a=a·d。故(c·d) ·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a) ·d=(a·c) ·d=a·(c·d)。从而c·d?H。
由于c·a=a·c,且·满足消去律，所以a ·c-1=c-1·a。故c-1?H。 从而H 是G的子群。
24、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。
证明：
设
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25、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。
证明：
设
26、试求
解：
0是
27、设
证明：
用反证法证明。
假设a·b=b·a。则a4·b= a3（·a·b）= a3·(b·a)=(a5·b)·a
=(a2·(a·b))·a=（a2（·b·a））·a=((a2·b)·a)·a=(a·(a·b))·(a·a) =(a·(b·a))·a2=((a·b)·a)·a2 =((b·a)·a)·a2=(b·a2)·a2 =b·(a2·a2)=b·a4。
因为a4·b= b·a5，所以b·a5= b·a4。由消去律得，a=e。 这与已知矛盾。
28、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试证：
证明：
（1）?a,b,c?I，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c) =a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。
（2）记e=2。对?a?I，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的
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单位元。
（3）对?a?I，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。 综上所述，
29、设
证明：
?b，c?Sa，则存在k,l?I+，使得b=ak,c=al。从而b·c=ak·al=ak+l。因为k+l?I+，所以b·c?Sa，即Sa关于运算·封闭。故
30、单位元有惟一逆元。
证明：
设
因为e是关于运算?的单位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。 即单位元有惟一逆元。
31、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e?0。
证明：
用反证法证明。假设e=0。
对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算*的单位元和零元， 则a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|>1矛盾。
从而假设错误。即e?0。
32、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。
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证明：（用反证法证明）
设在素不少于两个的群
?关于*消去律成立。? a=e。 ?
矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。
33、证明在一个群中单位元是惟一的。
证明：
设e1,e2都是群〈G,*〉的单位元。 则e1=e1*e2=e2。
所以单位元是惟一的。
34、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。
证明：
?x?G，因为a是〈G，*〉的生成元，所以存在整数k，使得x=ak。 故x=((ak)?1)?1=((a?1)k)?1=(a?1)?k。从而a-1也是〈G，*〉的生成元。
35、在一个偶数阶群中一定存在一个2阶元素。
证明：
群中的每一个元素的阶均不为0 且单位元是其中惟一的阶为1的元素。因为任一阶大于2 的元素和它的逆元的阶相等。且当一个元素的阶大于2 时，其逆元和它本身不相等。故阶大于2 的元素是成对的。从而阶为1的元素与阶大于2 的元素个数之和是奇数。
因为该群的阶是偶数，从而它一定有阶为2 的元素。
36、代数系统
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