发布时间 : 星期一 文章1996年考研数学三真题及全面解析更新完毕开始阅读6e6225c08562caaedd3383c4bb4cf7ec4bfeb660
g(x)?e?xg?(x)?e?xg??(x)?e?xg??(0)?1f?(0)?lim洛lim洛lim?.
x?0x?0x?0x22x22?xg?(x)?g(x)?(x?1)e?x,x?0,?2?x所以 f?(x)??
??g(0)?1?,x?0.??2(2) f?(x)在x?0点的连续性要用定义来判定.因为在x?0处,有
g??(x)?e?xg??(0)?1??f?(0). ?limx?022而f?(x)在x?0处是连续函数,所以f?(x)在(??,??)上为连续函数. 四、(本题满分6分) 【解析】由z?f(u)可得
?z?u?z?u?f?(u),?f?(u). ?x?x?y?y在方程u??(u)??xyp(t)dt两边分别对x,y求偏导数,得
所以
?up(x)?u?p(y)?,?.
???x1??(u)?y1??(u)于是
p(y)?z?z?p(x)p(y)p(x)p(y)??p(x)???f?(u)?0. ?x?y?1???(u)1???(u)??五、(本题满分6分)
【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为 所以
???0?xexxe?xx?dx?lim?ln(1?e)??ln2. ?x???1?ex(1?e?x)2???xex?xex?x?x?x???ln(1?e)?lim?lne(1?e)而 lim??x????1?ex??? x???1?ex???? ?故原式?ln2. 方法2:
?x?0?0,
x???1?exlim???0????xe?xxex1dx?dx??xd?0(1?ex)2?01?ex
(1?e?x)2六、(本题满分5分)
【分析】由结论可知,若令?(x)?xf(x),则??(x)?f(x)?xf?(x).因此,只需证明?(x)在
[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.
【解析】令?(x)?1xf(x),由积分中值定理可知,存在??(0,),使
2?1201xf(x)dx???(x)dx??(?),
2120由已知条件,有f(1)?2?1201xf(x)dx?2??(?)??(?),于是
2且?(x)在(?,1)上可导,故由罗尔定理可知,存在??(?,1)?(0,1),使得
??(?)?0,即f(?)??f?(?)?0.
【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数f(x)在积分区间[ a,b]上连续,则在[ a,b]上至少存在一个点?,使下式成立：
?baf(x)dx?f(?)(b?a)?a???b?.
这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数f(x)满足
(1)在闭区间[ a,b]上连续； (2)在开区间
?a,b?内可导；
f(a)?f(b),
(3)在区间端点处的函数值相等,即那么在
?a,b?内至少有一点?(a???b),使得f?????0.
f??x??0,则函数f?x?单调
七、(本题满分6分)
【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x的某个区间上导函数递增,反之递减.
【解析】(1)设售出商品的销售额为R,则 令R??0,得 p0?abb?b?(a?bc)?0. cc当0?p?b(a?bc)时,R??0,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加. c 当p?b(a?bc)时,有R??0,所以随单价p的增加,相应销售额R将减少. cb(a?bc)时,销售额R取得最大值,最大销售额为 c(2)由(1)可知,当p?Rmax八、(本题满分6分) 【解析】令z???ab??a??(a?bc)2. ???b?c??c??ab?????c???ydydz,则?z?x. xdxdxdzdxdz??,其通解为 ?z?1?z2,即xdx1?z2当x?0时,原方程化为z?xln(z?1?z2)??lnx?C1 或 z?1?z2?代回原变量,得通解
C. xy?x2?y2?C(x?0).
当x?0时,原方程的解与x?0时相同,理由如下: 令t??x,于是t?0,而且
y?x2?y2y?x2?y2y?t2?y2dydydxdy. ????????dtdxdtdxx?xt从而有通解
y?t2?y2?C(t?0),即y?x2?y2?C(x?0).
y?x2?y2?C.
?y后得 x综合得,方程的通解为
注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数zx2?y2?x1?z2,
从而,应当分别对x?0和x?0求解,在类似的问题中,这一点应当牢记. 九、(本题满分8分)
【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为?所以y?2. (2)由于AT?3是A的特征值,故
?A,要(AP)T(AP)?PTA2P??,而
是对称矩阵,故可构造二次型xTA2x,将其化为标准形yT?y.即有A2与?合同.亦即
PTA2P??.
方法一：配方法.
由于 xTA2x?x22221?x2?5x3?5x4?8x3x4
那么,令
y?xy411,2?x2,y3?x3?5x4,y4?x4,即经坐标变换
有 xTA2x?y222921?y2?5y3?5y4.
??1000??1100??所以,取 P??0??001?4??,有 (AP)T(AP)?PTA2P????5???0001???????方法二：正交变换法.
二次型xTA2x?x22221?x2?5x3?5x4?8x3x4对应的矩阵为
??1000?A2??0100???0054??, ?0045??其特征多项式
??1000?E?A2?0??100300??5?4?(??1)(??9).
00?4??5A2的特征值?1?1,?2?1,?3?1,?4?9.由(?1E?A2)x?0,即
??0000???0000??0?4?4??x1??0???x??2?x???0??,
?0?00?4?4???3??x???0??4??0?和(?24E?A)x?0,即
??5??. 9?5???1