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运筹学简明教程（秦裕瑷、秦明复）
续言
运筹学所涉及的领域：所有领域
运筹学对各领域的作用：设计、实行、管理运做、后期检验等各个方面
运筹学定义：用科学的方法研究各种优化问题，即“多、快、好、省”问题的学问
第一章 线性规划与产品结构优化问题
§1.1 一个简单问题的提出
例1.1 某加工车间要把多余的27kg塑料和290度电加工成甲、乙两种管状产品，生产1m甲产品需要2kg塑料和40度电，生产1m甲产品需要3kg塑料和10度电，售出1m甲产品的利润是7元，1m乙产品的利润是6元，问如何组织生产
对应于如下表：表1.1
甲（m） 乙（m） 限值
售出利润（元） 7 6 ？
2 3 27 塑料（kg）
40 10 290 电（度）
对表的解读：行、列的统一
提出的问题：原始方法和及现代管理方法的必要，用代数方法或解析几何方法解决的设想
产品结构优化问题的代数模型：
max z = 7x1?6x2
?2x1?3x2?27?s.t.?40x1?10x2?290 ?x1,x2?0?约束条件，主（非负）约束条件，决策变量，可行方案
s.t. subject to(受制于)
§1.2 解析几何法
一、作出各个约束条件的图形
L1：2x1?3x2?27
其中坐标系中 满足2x1?3x2?27范围的确定方法：用x1?3确定x2即可 由一系列讨论可知：要求不等式
ax1?bx2?c 的图形，先画出
ax1?bx2?c 的图形
二、 画出同时满足所有约束条件的图形 在直角坐标系里，先画出四条直线：
L1：2x1?3x2?27 L2：40x1?10x2?290
L3：x1?0
L4：x2?0
把满足四个约束条件
D1：2x1?3x2?27
D2：40x1?10x2?290 D3：x1?0
D4：x2?0
找出共同部分，处在这个部分的都是可行解 三、 画出目标函数的等值线
用目标函数 max z = 7x1?6x2 确定等值线的方法 即条条等值线：试出一些点的目标函数值，只要不是最大即可 例如：7x1?6x2=21 就是一条等值线
四、 利用等值线求最大值
依据：等值线互相平行，规律：远离原点目标函数值增大
此例中L1、L2交点 B（6，5）即为最大解，唯一
由此得例1.1答案
⑴ 甲乙两种产品都生产
⑵ 最优产品结构为：生产6m 甲，生产乙5m ⑶ 最大（总）利润等于72 ⑷ 所有资源，塑料与电都用完
这是存在最大解的问题，但若改变条件会出现，存在最大解但不唯一，无可行解、无有限的最优解等情况，可根据解析几何知识得出
§1.3 产品结构优化问题与线性规划的基本概念
§1.3.1 基本概念 生产单位、产品、资源
特点，同样物品，在生产过程中地位不一定 社会需要：国家计划、市场需要、客户定制等
技术参数或消耗系数：生产一个单位产品需要资源的多少 组织者或决策者：对某种生产任务有权作出决策者 产品结构：生产什么、生产多少 约束条件：对生产的各种约束
基本概念归纳：工厂、产品、利润（成本）、资源、技术参数、决策者
§1.3.2 线性规划 一种数学模型
利润 甲 乙 丙 丁 戊 c1 c2 c3 c4 c5 资源 ？ a12a13a14a15资源1 a11资源2 a21 a22 a23 a24 a25 资源3 a31a32a33a34a35
b1b2 b3a,b,c等均非负
maxz?c1x1?c2x2?c3x3?c4x4?c5x5
?a11x1?a12x2?a13x3?a14x4?a15x5?b1?ax?ax?ax?ax?ax?b?2222332442552 s.t.?211?a31x3?a32x2?a33x3?a34x4?a35x5?b3?x1,x2,x3,x4,x5?0?为产品结构优化问题的数学模型
决策变量、目标函数、求解任务（最大、最小），（主约束条件、变量（非负）约束条件）约束条件 可行解 ?x1x2x3x4x5?
所有可行解构成的集合叫可行域或可行解集合 线性规划问题：求解线性规划问题的可行域
线性规划（Linear Programming）是运筹学的重要分支 minimize maximize
本部分要求：会用解析几何法求解线性规划问题最优解
能写出几种解的相应模型