发布时间 : 星期日 文章2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(五)(平面向量)更新完毕开始阅读6a3ea43f8c9951e79b89680203d8ce2f006665c7
2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结
平面向量
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注
uuur意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按r向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
uuuruuurAB（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是?uuur)；
|AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条
直线平行不包含两条直线重合；
r③平行向量无传递性！（因为有0)； uuuruuur AC共线； ④三点A、B、C共线?AB、（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。
rrrr如下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相
rrrruuuruuuruuuruuur同。（3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB?DC。（5）若a?b,b?c，rrrrrrrr则a?c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基
rrr底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向
量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、
?2，使a=?1e1＋?2e2。
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rrrr1r3r如（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______（答：a?b）；
22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
uruururuurA. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7)
uruururuur13C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）；
24rruuuruuuruuurruuurruuur（3）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示
2r4r为_____（答：a?b）；
33（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___（答：0）
4、实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度和方向规定如下：
???????????????rr?1??a??a,?2?当?>0时，?a的方向与a的方向相同，当?<0时，?a的方向与a的方向相反，rr当?＝0时，?a?0，注意：?a≠0。
5、平面向量的数量积：
uuurruuurr（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA?a,OB?b，?AOB??
?0?????称为向量a，b的夹角，当?＝0时，a，b同向，当?＝?时，a，b反向，当?＝
a，b垂直。
?时，2rr（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量|a||b|cos?叫做
rra与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?b＝abcos?。规定：零向量与任一向量的数
量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________（答：－9）；
?????????rrrurrrru1r1rr?（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为，则k等于____（答：1）；
224rrrrrr（3）已知a?2,b?5,agb??3，则a?b等于____（答：23）；
rrrrrrrrr（4）已知a,b是两个非零向量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____（答：30o）
??r（3）b在a上的投影为|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0。如已知|a|?3，|b|?5，且
??a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______（答：
12） 5r（4）a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
??（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
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rrrr①a?b?a?b?0；
rrr2rrr2rr2②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，a?a?a?a,a?a；当a与b反向时，a?brrrrrr b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分条件；当?为＝－ab；当?为锐角时，a?b＞0，且a、rrrrab?a、 ba钝角时，＜0，且不反向，?b?0是?为钝角的必要非充分条件；
rrrrrra?b③非零向量a，b夹角?的计算公式：cos??rr；④|a?b|?|a||b|。
ab如（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______
（答：???????41或??0且??）； 33????????????13（2）已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若?S?，则OF,FQ夹角?的取值
22范围是_________（答：(??rrrrrrrr（3）已知a?(cosx,sinx),b?(cosy,siny),a与b之间有关系式ka?b?3a?kb,其中k?0，
,)）；
43rrrrrrk2?1rr①用k表示a?b；②求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角?的大小（答：①a?b?(k?0)；②最
4k小值为
1o，??60） 26、向量的运算： （1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如
uuuruuurruuurrrrAB?a,BC?bab此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量AC叫做与的和，即rruuuruuuruuura?b?AB?BC?AC；
uuurruuurrrruuuruuuruuur②向量的减法：用“三角形法则”：设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA，由减向量
的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
uuuruuuruuur如（1）化简：①AB?BC?CD?___；
uuuruuurruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur②AB?AD?DC?____；③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：①AD；②CB；③0）；uuurruuurruuurrrrr（2）若正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝_____（答：
22）；
uuuruuuruuuruuuruuur（3）若O是VABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则VABC的形
状为____（答：直角三角形）；
uuuruuuruuurr（4）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，
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uuur|AP|r??，则?的值为___（答：2）； 设uuu|PD|uuuruuuruuurro（5）若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120）；
rr（2）坐标运算：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则：
rr①向量的加减法运算：a?b?(x1?x2，y1?y2)。
uuuruuuruuur如（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____时，点P在
第一、三象限的角平分线上（答：
1）； 2r1uuu???（2）已知A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，则x?y? （答：
2226或??）； 2uuruuruururuuruuruur（3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力F?F1?F2?F3的
终点坐标是 （答：（9,1））
r②实数与向量的积：?a???x1,y1????x1,?y1?。
uuur③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有
向线段的终点坐标减去起点坐标。
ruuuruuur1uuuruuu如设A(2,3),B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，则C、D的坐标分别是__________（答：
3(1,11),(?7,9)）； 3rr④平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2。
如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝
?，求向量33??11a、c的夹角；（2）若x∈[?,]，函数f(x)??a?b的最大值为，求?的值（答：(1)150o;(2)8422或?2?1）；
rrrr2r22o222a⑤向量的模：|a|?x?y,a?|a|?x?y。如已知,b均为单位向量，它们的夹角为60，
uurr那么|a?3b|＝_____（答：13）；
⑥两点间的距离：若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则|AB|?o?x2?x1???y2?y1?22。
如如图，在平面斜坐标系xOy中，?xOy?60，平面上任一点P关于
uuururuururuur斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP?xe1?ye2，其中e1,e2分别为与x轴、
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