发布时间 : 星期日 文章力学第二版习题答案（高等教育出版社）07更新完毕开始阅读678a0e44be1e650e52ea9989
第7章刚体力学习题解答 49 第7章刚体力学习题解答
由转动定理；F0A?I12o??3mL?(2) A F
把⑴代入⑵中，可求得 oA?23L
7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了0.75m。滑轮转动惯量是多少？ 解： T2 T1 β x o R a a y m2g m1g T2 T1 m2 m1
隔离m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应用牛顿第二定律：m2g?T2?m2a(1);T1?m1g?m1a(2)
对滑轮应用转动定理：(T2?T1)R?I??Ia/R （3） 质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：?y?12at2，
?a?2?y/t2?2?0.75/5.02?0.06m/s2
由 ⑴、⑵可求得 T2?T1?(m2?m1)g?(m2?m1)a,代入（3）中，可求得 I?[(m2?m1)g/a?(m2?m21)]R，代入数据：
I?(0.04?9.8/0.06?0.96)?0.052?1.39?10?2kgm2
7.3.8斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩τ，通过绳所牵动斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦
系数为μ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。
解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中T为绳中张力，f=μN为摩擦力，重物上滑加速度与鼓轮角加速度的关系为a=βR
对重物应用牛二定律：
T- μN- mgsinθ=ma, N=mgcosθ，代入前式，N 得 T- μmgcosθ- mgsinθ=ma ①
f T β 对鼓轮应用转动定理： a θ τ
τ- TR=Iβ=Ia/R ②
mg T 由①②联立，可求得重物上滑的加速度：
2a??R?Rmg(?cos??sin?)I?mR2
7.3.9利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的垂直距离为r，为减小因不计轴承摩擦力r 矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物m1，从距地面高度为h处由静止开始下落，落地时间为t1，然m1,m2 后悬挂质量较大的重物m2，同样自高度h处下落，h
所需时间为t2，根据这些数据确定轮盘的转动惯量，近似认为两种情况下摩擦力矩相等。
解：隔离轮盘与重物，受力及运动情况如图示：τf
τf T 为摩擦力矩，T为绳中张力，a=βr
对轮盘应用转动定理： β r a
T1r??f?I?1，T2r??f?I?2，两式相减，得：
T mg (T2?T1)r?I(?2??1),I?(T2?T1)r/(?2??1)①
对重物应用牛顿二定律：
m1g?T1?m1a1?m1r?1,m2g?T2?m2a2?m2r?2，两式相减，可
得：T2?T1?(m2?m1)g?r(m2?2?m1?1)，代入①中，可得：
第7章刚体力学习题解答 50 第7章刚体力学习题解答
转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射出并
嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ. I?[(m2?m1)gr?(m2?2?m1?1)r]/(?22??1)②
由运动学公式：h?1212?a22a1t1?2a2t2,1?2h/t1,
a2hh2?,?1?2,?h，将角加速度代入②中，得：
t22rt22?21rt22(m)gr?(m2h2?m12rt2?m2h1I?2rt2)r212h2hrt2?2rt212?(m2?m1)gr2?2hr(m222/t2?m1/t1)2222
2h(t1?t2)/(t1t2)222?(m222?m1)grt1t22?2hr(m2t1?m1t2)2h(t221?t2)
7.4.1 扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线o转动，其转动惯量为I.装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴垂直距离为r。在槽内装有一小球，质量为m，开始时用细线固定，使弹簧处于压缩状态。现在燃火柴烧断细线，小球以速度v0弹出。求转动装置的反冲角速度。在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？
解：取小球、转动装置构成的物体系为研究对象。在弹射过程中，物体系相对竖直轴o未受外力距作用，故物体系对转轴o的角动量守恒，规定顺时方向为正，有 v0 I??rmv0?0???rmv0/I r m 在弹射过程中，物体系动能不 o I 守恒，因弹力做正功使动能增加；
总机械能守恒，因为只有保守内力（弹力）做功。
7.4.2 质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线o
o
解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象， 整个过程可分为两个阶段研究：
第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞， θ l M 获得共同的角速度ω，此过程时间极短，可认
为杆原地未动。由于在此过程中，外力矩为零， m v 因此角动量守恒，mvl?ml2??123Ml??(m?13M)l2?
???mv01?200(m?M/3)l?0.(0.01?2.97/3)?1.0?2.0rad/s
第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度ω摆动到最大角度θ，由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒，物体系原来的动能等于重力势能的增量：
1122(m?3M)l?2?mgl(1?cos?)?Mgl2(1?cos?)(m?M/3)l2.02
?cos??1?(2m?M)g?2?1?(0.01?2.97/3)?1.0?(2?0.01?2.97)?9.8?0.8635θ=30o34’
7.4.3一质量为m1，速度为v1的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99m1，长度为L的棒的端点，速度v1与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少？
解：以地为参考系，把子弹和棒看作一个物
A m2,L 体系，棒嵌入子弹后作平面运动，可视为随质心C的平动和绕质心C的转动，绕质心C转动的v1 C O
角速度即为所求。
m1
据质心定义:
m11?m2CAm?CO2CA,mm?CO?2CA,10099?L2CA，
第7章刚体力学习题解答 51 第7章刚体力学习题解答
CA?99L/200?0.495L,CO?0.5L?0.495L?0.005L
据角动量守恒：mvm22211CA?(1CA?112m2L?m2CO)?
m21v1?0.495L?m1(0.495?10052)L212?99?99?0.?0.495v21?(0.495?99/12?99?0.0052)L?
??0.058v1/L
7.5.1 10m高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。
解：设烟囱质量为m，高为h，质心高度hC=h/2，对转轴的转动惯量I?112mh2?m(h)22?13mh2，倒在地面上时的角速度为ω
由机械能守恒：
mgh122C?122I?,mg?h2?2?13mh?,??3g/h
上端点到达地面时的线速度：
v??h?3gh?3?9.8?10?17.2m/s
7.5.2 用四根质量各为m长度各为l的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点o是光滑的。最初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB边达到水平时，框架质心的线速度vc及框架作用于支点的压力N.
解：先求出正方形框架对支点o的转动惯量： o A Io?Ic?4m(l)22?Ic?ml2 Ep=0 I1c?4(12ml2?ml244)?3ml2?Io?73ml2B 设AB边达到水平位置时，框架的角速
B A 度为ω，据机械能守恒定律： 4mgl1272?2Io??12(ml23)?2
???12g17l,vc?2l??37gl
AB边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力N和向下的重力W的作用线均通过支点o，对o轴的力矩为零，据转动定理，框架的角加速度为零，
∴ac=ω2l/2=6g/7，方向向上。规定向上方向为正，对框架应用质心运动定理： N?4mg?4mac?4m67g?N?4mg(1?67)?737mg
据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于N，方向向下。
7.5.3由长为l，质量为m的匀质细杆组成正方形框架，其中一角连于水平光滑转轴O，转轴与框架所在平面垂直，最初，对角线OP处于水平，然后从静止开始向下自由摆动，求OP对角线与水平成45°时P点的速度，并求此时框架对支点的作用力。
解：先求出框架对O轴的转动惯量：据平行轴定理，
I?I21C?4mOC2?4(112ml2?m14l)?4m(2l)2?103ml2
设对角线OP转过45°后框架的角速度为ω，且势能为零，由机械能守恒：
N C 4mg(l222sin45?)?12I?,2mgl?53ml2?
O P
n τ ?2?6g6g5l,??5l,v2l?23p??5gl
4mg 设支点O对框架的作用力为N，由定轴转动定理：τ= Iβ，
????4mgsin45?l/2?3g,al2I10ml2/35l????3g?3g25210质心的法向加速度 a26gn??OC?5l?l?6g
252第7章刚体力学习题解答 52 第7章刚体力学习题解答
在n?方向应用质心运动定理：Nn?4mgcos45??4man， N6gn?22mg?4m??(22?242)mg?222mg
525?25在??方向应用质心运动定理：N??4mgsin45??4ma?
N??4m?32g?22mg?(6?2)2mg??42mg
1055N?N2?N2?32?2?222?n2525mg?6.32mg，设与-??方向夹角
为θ，??arctg|Nn/N?|?arctg5.5?79.7?
7.5.4 质量为m长为l的匀质杆，其B端放在桌上，A端用手支住，使杆成水平。突然释放A端，在此瞬时，求：⑴杆质心的加速度，⑵杆B端所受的力。
解：⑴以支点B为转轴，应用转动 B A 定理：mgl22?13ml????3g2l，质
心加速度 a?l?3c?24g，方向向下。 x
⑵设杆B端受的力为N，对杆应用 y 质心运动定理：Ny=0，
Nx - mg = - m ac , Nx = m(g – ac) = mg/4 ∴ N = mg/4，方向向上。
7.5.5 下面是匀质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力f.
⑴沿圆柱体上缘作用一水平拉力F,柱体作加速滚动。
⑵水平拉力F通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动。 ⑶不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动。 ⑷在主动力偶矩τ的驱动下加速滚动，设柱体半径为R。 解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。 假设静摩擦力方向向后，其余受力情况如图所
N F(1) 所示。对每种情况，都可以根据质心定理、绕
C F(2)
质心轴的转动定理和只滚不滑条件，建立三个 方程求解。
f mg ⑴F?f?mac,(F?f)R?12mR2?,ac??R
可求得f = - F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。
⑵F?f?mac,fR?12mR2?,ac??R
可求得f = F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。 ⑶ ac = 0 , f = 0
⑷?f?ma2c,??fR?12mR?,ac??R,求得f??2?3R
负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。
7.5.6 板的质量为M，受水平力F R 的作用，沿水平面运动，板与平面间的 M2 F 摩擦系数为μ.在板上放一半径为R质 量为M2的实心圆柱，此圆柱只滚动不 滑动。求板的加速度。
解：隔离圆柱，其受力及运动情况如图 β 所示，其中ac为质心对地的加速度，β为相
对质心的角加速度，f2、N2分别为板施加给 W2 ac 圆柱的静摩擦力和压力。 f2 由质心定理：f2?M2ac(1),N2?M2g(2) N2