发布时间 : 星期三 文章张益唐和北大数学78级 - 图文更新完毕开始阅读6707c5fda8956bec0875e3bb
不够的；我们需要了解当可以与一起增大的时候，这个公式是否正确。
这是一个非常困难的问题。在平均意义下，我们有如下结果
其中是任意正数。这里的称为素数在算术级数中平均分布的“水
平”，
越大即水平越高，也就越难以证明。
【刘建亚给本文作者讲解的公式】
1948年，匈牙利数学家任义（Alfred Renyi) 得到了的存在性，但是没有
给出其具体数值。任义由此推出哥德巴赫猜想方向上的命题(1+b)，这里是
一个依赖于天文数字。
的正整数，随着的增大而减小。因此任义的是个未知的
1962年潘承洞证明了可以取1/3, 进而推出命题 (1+5)。利用这个，
王元证明了(1+4) 。同年，潘承洞进一步证明了可以取到3/8, 进而用简单
的筛法也证明了（1+4)。1965年，苏联数学家布什塔波（A. Buchstab）用这
个
加上复杂的筛法证明了(1+3)。
1965年意大利数学家邦别里（E. Bombieri）以及苏联数学家维诺格拉多夫（A.
I. Vinogradov） 各自独立证明了可以取任何小于1/2的正实数。这相当于
证明了，广义黎曼猜想的一个重要推论在平均意义下成立，而且这个结果可以在很多场合替代广义黎曼猜想。邦别里因此获得1974年的菲尔兹奖。1966年陈
景润利用邦别里-维诺格拉多夫的证明了命题(1+2)，并发表了论文摘要。由
于文化大革命的原因，陈景润论文的全文直至1973年才得以发表。
上述关于平均分布水平以及命题(1+b)的历史，同样适用于孪生素数猜想，
并给出(1-b)的结论。例如，陈景润的(1+2)的证明也推出关于孪生素数猜想的命
题(1-2)，也即方程有无穷多组解，其中是
素数，而
至多有2个素因子。
然而孪生素数猜想有其特殊性，也即方程
端是个固定的常数2，这与哥德巴赫猜想不同。注意到这点：公式(*) 中的以简单地取为2；此外可以要求整数，而不是取遍所有不超过
只取某些具有好的性质的、不超过
的右可的正
的正整数。有了这些变化，可以把(*)当中的
水平做得更大，甚至超过1/2。注意到这样强的结果，已经不再是广义黎曼
猜想的推论了。1980年代，邦别里、加拿大数学家弗里德兰得（John Friedlander）以及前面提到的张益唐文章的审稿人伊万尼克等致力于证明这样
的平均分布结果，他们得到的水平
可以大到4/7,这个数是大于1/2的。
公式(*) 中的水平最大可以取多大呢？当的时候，大家已经
知道(*)是错的。因此最高的期望是，可以取任何小于1的正实数；这个期
望被称为艾略特-伯斯坦猜想（Halberstam-Elliott）猜想。假设这个大胆的猜想正确，前面提到的加州圣荷西大学的戈德斯通、匈牙利数学家宾兹（János Pintz）、土耳其数学家伊尔泽姆（Cem Yildirim）在2010年合作证明了：存