发布时间 : 星期日 文章电磁场与电磁波（第四版）课后答案--谢处方更新完毕开始阅读6650bd2aa9956bec0975f46527d3240c8547a143
- 17 -
1q2（2） 总的静电能量为 We?q?(a)?
24?(?1??2)a 3.34 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。
解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f，然后在半球面上对f积分，求出两半球之间的电场力。
导体球的电容为 C?4??0a q2q2? 故静电能量为 We?2C8??0a根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力
1?We1?q2q2f????()?
4?a2?a4?a2?a8??0a32?2?0a4方向沿导体球表面的外法向，即 f?erf?q22432??0a这里 er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos?
在半球面上对f积分，即得到两半球之间的静电力为
F??fdS?er
2??2??00erq232?2?0a4a2sin?d?d??
2?a2q2q2ezcos?sin?d??e 24?2z32??0a032??0a3.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入在电容率为?的液体中，两板间加电压U，证明液面升高
1Uh?(???0)()2
2?gd其中?为液体的质量密度。
解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的液面升高为h时，其电容为
?ah?0a(L?h)C??
dd金属板间的静电能量为 U 1aU2 2We?CU?[h??(L?h)?0]
22d液体受到竖直向上的静电力为
?WeaU2Fe??(???0) L ?h2d h 而液体所受重力
Fg?mg?ahd?g
? ?2 2aUFe与Fg相平衡，即 (???0)?ahdg
2d题3.35图
故得到液面上升的高度
(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gdd
- 18 -
3.36 可变空气电容器，当动片由0o至180o电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。
解 当动片为?角时，电容器的电容为
350?25C??25???25?1.81?PF?(25?1.81?)?10?12F o180112?122W?CU?(25?1.81?)?10U此时电容器中的静电能量为 e?00
22?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。
（1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变
化？电容量如何变化？
S （2）如果在电荷q一定的条件下，将一
块横截面为?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地?d d U0
插入，如题3.37(b)图所示，则电容器的能量 如何变化？电容量又如何变化？
解 （1）在电压U0一定的条件下，未插
题3.37图(a)
入金属板前，极板间的电场为
UE0?0
d?S电容为 C0?0
d?0SU0212 静电能量为 We0?C0U0?22dU0 当插入金属板后，电容器中的电场为 E?d??d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为 We??0??S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0S C?2?
U0d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为
?S?S?S?d?C?C?C0?0?0?0
d??ddd(d??d) 2d(d??d)（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 ?qE0??
?0?0S
?We?We?We0??0SU02?d- 19 -
q2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E
再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q S qq 于是得到极板间的电场为 E???S??0(S??S)d ? ?0 qd U?Ed? 两极板间的电位差位 ?S ?q ??S??0(S??S) 11q2d题3.37图(b)
此时的静电能量为 We?qU?22??S??(S??S) 0??S??0(S??S)C? 其电容为
d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??
2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解决。
??t2?E?1（）证明：有源区E的微分方程为，?t????P；
?0???td?? （2）证明：E的解是 E???4??0?R1解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(?gE)??2E?0
11?gE??g(D?P)?(???P) 又
?0?(???P)??t2?E??故得到
?0?0??t2?E?（2）在直角坐标系中的三个分量方程为
?01??t1??t1??t22?2Ex? ，?Ey?，?Ez??0?x?0?y?0?z其解分别为
11??tEx??d?? ?4??0?R?x?11??tEy???R?y?d?? 4??0?11??tEz??d?? ??4??0?R?z故 E?exEx?eyEy?ezEz?
?0
- 20 -
???t??t11??t???t1??d?? [e?e?e]d??xyz??4??0?R4??0?R?x??y??z??t)d???0 R??t1???tR???t???()???()????解 由于 ，所以 tt3RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RR???R?R???td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t??()d????4??0E?4??0E?0 故 ?R?3.39 证明：???(