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的乘积AB与BA 解 AB=????24????1?2?4???16?32??2?? ??3?6??=??8?16????4??2 BA=???3?6??????24??00???1?2??=??00???AB ????对于两个n阶方阵A,B,若AB=BA,称方阵A与B可交换
从上面等式可以得出结论:若A?O而A(X?Y)?0也不能得出X=Y的结论 矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律
(1) (AB)C=A(BC)
(2) ?(AB)?(?A)B?A(?B)?为数
(3) A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
对于单位矩阵E,有
EmAm?n?Am?n,Am?nEn?Am?n 即:
EA=AE=A
特殊矩阵: 1 单位矩阵;
?10?0???01?0?? E=?
????????00?1???2 数量矩阵
??0?0????0??0? ?E??
????????00?????3 对角矩阵
?a11??0 ????0?4 ;三角矩阵
0??a22?0? ?????0?ann???a12?a1n??a110??a22?a2n??a21a22或????0?????0?ann???an1an20???0? ?????ann???0?a11??0 ????0?可以得到:
(?En)An??An?An(?En)
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表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为
A?A,A?AA,A其中k为正整数
例6 证明
1211k?l?AkAl,(Ak)l?Akl
s?co? ??sin???sin???cosn??sinn???????sin? co?s?n?cosn????证 用数学归纳法,n?1时显然成立,设n=k时成立,即 ?cos??sin???cosk? ??sin?cos??????sink????当n?k?1时,有
k?1kn?sink???
cosk????cos??sin???cosk??sink???cos??sin????????? ?????? sin?cos?sink?cosk?sin?cos????????cosk?cos??sink?sin??sink?cos??cosk?sin?? =??sink?cos??cosk?sin?cosk?cos??sink?sin???
???cos(k?1)??sin(k?1)?? =??sin(k?1)?cos(k?1)???
??等式得证.
四 矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A
T?a11?a21 A=?????am1(1) (A)?A
TTa12a22?am2?a1n??a11?a?a2n?T?.则A??12???????amn??a1na21?am1?a22?am2?? ????a2n?amn?A的转置也是一种运算,满足 (2) (A?B)?A?B (3) (?A)??A
(4) (AB)?BA
TT证明(4) 设A?(aij)m?s,B=(bij)s?n,记AB?C?(cij)m?n,BA?D?(dij)n?m,有 cji?TTTTTTTTT?ak?1sjkbki
TT而B的第i行为(b1i,b2i,?,bsi),A的第j列为(aj1,?,ajs),因此
dij??bkiajk??ajkbki
k?1k?1ssdij?cji有
TT(i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)
T BA?(AB)
例7 已知
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?17?1????20?1??423 A??,B=?? ?132????201???T求(AB)
解 因为
AB? ??所以
?20?1???132???17?1????014?3??423?=??171310??
??201?????017???T (AB)??1413?
??310???若A是n阶方阵,如果满足AT?A,即
aij?aji(i,j?1,2,?,n)
那么A称为对称矩阵.
例 设列矩阵X=(x1,x2,?,xn)满足XTX?1,E是n阶单位阵,H?E?2XXT,证明H是对称矩阵,且HH?E 证 H 所以H是对称矩阵.
T2 HH=H?(E?2XX) T =E?4XX+4(XX)(XX) T =E?4XX+4X(XX)X)
TTTTT2TTT?(E?2XXT)T ?ET?2XXT?E?2XX?HT
=E?4XX+4XX=E 五 方阵的行列式
定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作A或 . detA
A满足下列运算规律(A,B为n阶方阵,?为数) (1) ATTT?A
n(2) ?A??A
(3) AB?AB,且AB?BA
例9 行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵
?A11??A12????A?1nA21?An1??A22?An2? ?????A2n?Ann??称为A的伴随矩阵,试证
AA??A?A?AE
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证明 设A?(aij),记AA?(bij),则
bij?ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?A?ij 故 AA?(A?ij)?A(?ij)?AE 类似有
AA?(????Ak?1nkiakj)(A?ij)?A(?ij)?AE
本授课单元教学手段与方法：
讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习 提高学生运算的准确率.
本授课单元思考题、讨论题、作业： P53:3.4(1),(2);(3),(4)
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