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线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n阶行列式的定义 §4 对换
本授课单元教学目标或要求：
1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法
设p1p2?pn是1,2,?,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比p1大的数排在p1前面，记为t1； 再看有多少个比p2大的数排在p2前面，记为t2； ……
最后看有多少个比pn大的数排在pn前面，记为tn； 则此排列的逆序数为t?t1?t2???tn。
2. n阶行列式
a11D?a21?an1(p1p2?pn)求和。
a12?a1na22?a2n??an2?ann?(p1p2?pn)?(?1)ta1p1a2p2?anpn
其中p1p2?pn为自然数1,2,?,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列
n阶行列式D中所含n2个数叫做D的元素，位于第i行第j列的元素aij，叫做D的(i,j)元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用
D?a11a21a12a22?a11a22?a12a21
a11a31a12a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a33?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32
D?a21a22
重点和难点：理解行列式的定义
行列式的定义中应注意两点：
(1) 和式中的任一项是取自D中不同行、不同列的n个元素的乘积。由排列知识可知，D中这样的
乘积共有n!项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(?1)，即当p1p2?pn是偶排列时，t为排列(p1p2?pn)的逆序数，
对应的项取正号；当p1p2?pn是奇排列时，对应的项取负号。
综上所述，n阶行列式D恰是D中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。
例：写出4阶行列式中含有a11a23的项。
解：?a11a23a32a44和a11a23a34a42。
例：试判断a14a23a31a42a56a65和?a32a43a14a51a25a66是否都是6阶行列式中的项。
解：a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为??431265??0?1?2?2?0?1?6，所以a14a23a31a42a56a65是6阶行列式中的项。
?a32a43a14a51a25a66下标的逆序数为?(341526)??(234156)?5?3?8，所以?a32a43a14a51a25a66不是6阶行列式中的项。
t0001例：计算行列式D?002003004000
1?2?3?4?24 解：D?(?1)
本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合
首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n阶行列式的定义。
通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。
本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6)
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线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式
§5 行列式的性质
§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则
本授课单元教学目标或要求： 1． 知道n阶行列式的性质。
2． 知道代数余子式的定义和性质。
3． 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式。 4． 知道克拉默法则。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：
1. 行列式的性质
(1) 行列式D与它的转置行列式D相等。 (2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。
(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式的
某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。
(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。
(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。
(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列
式的值不变。
2. 行列式的按行（列）展开
(1) 把n阶行列式中(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后所成的n?1阶行列式称为(i,j)元aij的
余子式，记作Mij；记Aij?(?1)i?jTMij，则称Aij为(i,j)元aij的代数余子式。
(2) n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第
i行展开：
D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)； 或可以按第j列展开：
D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n).
(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,i?j， 或
a1iA1j?ai2Aj2???aniAnj?0,i?j.
3. 克拉默法则
含有n个未知元x1,x2,?xn的n个线性方程的方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ????????????????an1x1?an2x2???annxn?bn当b1,b2,?,bn全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。
(1) 如果方程组的系数行列式D?0，那么它有唯一解：xi?Di(i?1,2,?,n，)其中DDi(i?1,2,?,n是把)D中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列
式。
(2) 如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式D?0。
(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式D?0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零
解，那么它的系数行列式必定等于零。
用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。
克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
4. 一些常用的行列式
(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即
a11D?a12?a1na22?a2n??ann?a11a21?an1
a22??an2?anna11?a11a22?ann
特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即D?a22?ann?a11a22?ann.
a1n类似地，D?a2,n?1?an1?(?1)n(n?1)2a1na2,n?1?an1.
a11?a1k(2) 设D1??b11?b1nak1?，D2???，则 ?akkbn1?bnn 第 4 页，共 39 页