发布时间 : 星期三 文章2020灞婇珮鑰冩暟瀛?鐞?涓�杞涔犺涔? 9.2 涓ゆ潯鐩寸嚎鐨勪綅缃叧绯?- 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读6591b907aa956bec0975f46527d3240c8447a1ff
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y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2).
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而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k需满足kPA ∵kPA＝－，kPB＝. 6211 ∴－ 62 4.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________________. 278 ，－? 答案 (1，－4)或?7??7解析 设点P的坐标为(a，b). ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2). 而AB的斜率kAB＝ －3＋1 ＝－1， 4－2 ∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0. ∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.① 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， ∴ |4a＋3b－2| ＝2，即4a＋3b－2＝±10，② 42＋32 ?a＝1，? 由①②联立解得?或 ?b＝－4? ? ?8?b＝－7. 27a＝，7 278，－?. ∴所求点P的坐标为(1，－4)或?7??7思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等. 题型三 对称问题 命题点1 点关于点中心对称 例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________. 答案 x＋4y－4＝0 解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 命题点2 点关于直线对称 例3 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( ) A.33 B.6 C.210 D.25 答案 C 解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210. 命题点3 直线关于直线的对称问题 例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________. 答案 x－2y＋3＝0 解析 设所求直线上任意一点P(x，y)， 则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， ?由?x＋x0?2－y＋y02＋2＝0， 得???x0＝y－2，??x－x?0＝－?y－y0?， ?y0＝x＋2， 由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足???x′＝2a－x， ?? y′＝2b－y. ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，有 则 n－b?A???m－a×?－B?＝－1，?a＋mb＋n??A·2＋B·2＋C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 跟踪训练2 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A对称的直线l′的方程. 解 (1)设A′(x，y)， y＋22 ＝－1，?3?x＋1·则?x－1y－2 2×－3×＋1＝0，??22 ?解得?4 y＝?13，33x＝－， 13 334－，?. 即A′??1313? (2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上. 设对称点为M′(a，b)， a＋2b＋0 2×－3×＋1＝0，?2?2则?b－02??a－2×3＝－1， ?a＝13，解得?30 b＝?13， 6 630?即M′??13，13?. ??2x－3y＋1＝0， 设m与l的交点为N，则由? ??3x－2y－6＝0， 得N(4,3).又m′经过点N(4,3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上. 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. 方法二 设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，