发布时间 : 星期三 文章2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.2 两条直线的位置关系更新完毕开始阅读6591b907aa956bec0975f46527d3240c8447a1ff
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解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
2
则两平行线间的距离为d＝
?2－1?
?2?32
2＝
4
. 7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (2018·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行； (2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
a
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
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l2：y＝x－(a＋1)，
1－a
a1??－2＝1－a，l1∥l2??解得a＝－1，
??－3≠－?a＋1?，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行. 方法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0， 得a(a2－1)－1×6≠0，
??a?a－1?－1×2＝0，
∴l1∥l2??2
?a?a－1?－1×6≠0，?
2??a－a－2＝0，
??2可得a＝－1， ?a?a－1?≠6，?
故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行. (2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2， 故a＝0不成立； 当a≠1且a≠0时，
a1l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
21－aa12－?·由?＝－1，得a＝. ?2?1－a3
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0， 2可得a＝.
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思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( ) 3A.－
2
B.0
3
C.－或0
2答案 C
D.2
a＋1－a3
解析 若a≠0，则由l1∥l2?＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.
12a2(2)(2018·营口模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 ①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.
②∵直线l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直线l1的斜率存在. a
∴k1＝k2，即＝1－a.
b
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数， 4即＝b. b
2
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
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题型二 两直线的交点与距离问题
1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )
2233A.－ B. C.－ D.
3322答案 A
解析 由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得k－6－6k＋1?2
＋1，1?，N?M?.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k??k??k－1，k－1??2＝－. 3
2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( ) 9182929A. B. C. D. 55105答案 C
34－12解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由
685题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即
|－24－5|2929
＝，所以|PQ|的最小值为. 1062＋8210
1
3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是
2________. 11－，? 答案 ??62?y＝kx＋2k＋1，??
解析 方法一 由方程组? 1
y＝－x＋2，?2?2－4k
x＝??2k＋1，解得?6k＋1
y＝??2k＋1.
1
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
2∴交点坐标为?
?2－4k，6k＋1?.
??2k＋12k＋1?
2－4k??2k＋1>0，
又∵交点位于第一象限，∴?6k＋1
??2k＋1>0，11