发布时间 : 星期五 文章2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5月份）-教师用卷更新完毕开始阅读64edf64eb8f3f90f76c66137ee06eff9aff849d9
则
0， ， ， 0， ，
， ，
y， ，则 设平面PAB的法向量为 ，即 ，
令 可得 ，
0， ， 又平面ABC的一个法向量为
．
由图形可知二面角 为锐二面角， 二面角 一C的余弦值为 ．
证明 平面PAC得出 ，【解析】再结合 即可得出 平面PBC；
建立空间坐标系，求出平面PAB和平面ABC的法向量，通过计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．
本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．
19. 已知椭圆
过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆 的离心率 ， 截得的线段长为3．
求椭圆的方程；
与椭圆交于A、B两点， 已知P为直角坐称平面内一定点，动直线l：当直线PA与直线PB的斜率均存在时，若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的
常数，求出所有满足条件的定点P的坐标． 【答案】解： 椭圆
的离心率 ，
过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3，
， ， ，解得
椭圆方程为
．
设 ， ， ，
将l： 代入椭圆方程，得： ， ， ，
则有 ， ， 直线PA，PB的斜率之和为：
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，
当 ， 时，斜率的和恒为0． 解得 ， 或 ， ．
故所有满足条件的定点P的坐标为 和
【解析】 由椭圆的离心率 ，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3，列方程组能求出 ， ，由此能求出椭圆方程．
设 ， ， ，将l： 代入椭圆方程，得： ，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出所有满足条件的定点P的坐标．
本题考查椭圆方程、点的坐标的求法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系、根的判别式、韦达定理、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度 单位： 组成一个样本，且
将纤维长度超过315mm的棉花定为一级棉花 设计了如图茎叶图：
根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论 不必计算 ；
从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率； 用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望．
【答案】解： 根据茎叶图知， 乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度，
或：甲种棉花的纤维平均长度小于乙种棉花的纤维平均长度 甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散， 乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中些 ；
甲种棉花的纤维长度的中位数是307mm，乙种棉花的纤维长度的中位数为318mm， 乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，且大多集中在中间 均值附近 ，
甲种棉花的纤维长度除1个特殊值 外，也大致对称，且分布均匀； 写出2个结论即可
记事件A为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”， 则所求的概率为
；
由题意知，随机变量X的可能取值是0、1、2，其相应的概率为：
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， ， ； 所以X的分布列为， X P 0 1
2
数学期望为 ．
【解析】 根据茎叶图可从棉花的纤维平均长度、纤维长度的离散性，中位数以及数据的分布情况进行分析，写出2个结论即可； 利用相互独立事件的概率公式计算即可；
由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
本题考查了用频率估计概率、随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．
21. 已知函数
Ⅰ 当 时， 取得极值，求a的值；
Ⅱ 当函数 有两个极值点 ， 且 时，总有
成立，求m的取值范围．
【答案】解： ， ， 当 时， 取得极值， ，解得 经过验证满足题意． ．
当函数 在 内有两个极值点 ， 且 时， 则 在 上有两个不等正根．
． ，
， ， ， ， ，可得 ．
成立，即
，
即
，即
，
即
，且 时， ．
时， 即
．
．
在 上为增函数，且 ， 时， 时， ，不合题意舍去．
同 不合题意舍去． 时， 第11页，共13页
， 时， 时，解得 ， 在 内函数 为减函数，且 ，可得： 时， ．
时，
成立．
时， ， 分子中的二次函数对称轴 ，开口向下， 且函数值 ，即 ，
， 为增函数， ， ，故舍去． 则 时， 综上可得：m的取值范围是 ．
【解析】 ， ，由题意可得 ，解得 经过验证即可得出．
当函数 在 内有两个极值点 ， 且 时，则
在 上有两个不等正根 可得 ，利用根与系数的关系可
， ，得：可得
成立，即
，且
，即
时， 时， 即
对m分类讨论利用导数研究其单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 参数 ，以原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 是圆心的极坐标为 且经过极点的圆．
求曲线 的极坐标方程和 的普通方程；
已知射线 分別与曲线 ， 交于点A， 点B异于坐标原点 ，求线段AB的长．
由曲线 的参数方程为 参数 ，消去参数可得【答案】解：
又 ， ，代入 ．
由曲线 是圆心的极坐标为 且经过极点的圆，可得其极坐标方程为 ，从而得 的普通方程为 ；
将 代入 ，得 ，
，
，可得曲线 的极坐标方程为
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又将 代入 ，得 故
．
．
由曲线 的参数方程直接消去参数可得普通方程， 【解析】结合 ，得曲线 的极坐标方程 由曲线 是圆心的极坐标为 且经过极点的圆，可得其极坐标方程为 ，两边同乘 后得 的普通方程；
将 分别代入代入 与 ，求得A，B的极径，作差可得线段AB的长．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，是中档题．
23. 已知函数 ， ，且 的解集为 ．
Ⅰ 求k的值；
Ⅱ 若a、b、c是正实数，且 ，求证： ． 【答案】 Ⅰ 解： 的解集为 ，即为 的解集为 ， ， 即有 ， 解得 ；
Ⅱ 证明：将 代入可得， b， ，
则 ， 当且仅当 ，上式取得等号． 则有 ．
【解析】 Ⅰ 由题意可得 的解集为 ， ，由绝对值不等式的解法，即可求得 ；
Ⅱ 将 代入，再由乘1法，可得 ，展开运用基本不等式即可得证．
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添1法和基本不等式是解题的关键．
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