发布时间 : 星期六 文章2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5月份）-教师用卷更新完毕开始阅读64edf64eb8f3f90f76c66137ee06eff9aff849d9
， ，
球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于
．
故选：D．
画出图，根据弧长公式求解
本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想 属于中档题．
12. 已知函数 e是自然对数的底 与 的图象上
存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是
A.
【答案】A
B.
C. D.
【解析】解：根据题意，若函数 e是自然对数的底 与 的图象上存在关于x轴对称的点， 则方程 在区间 上有解，
，即方程 在区间 上有解，
设函数 ，其导数
，
又由 ， 在 有唯一的极值点， 分析可得：当 时， ， 为减函数， 当 时， ， 为增函数， 故函数 有最小值 ，
又由 ， ；比较可得： ， 故函数 有最大值 ，
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故函数 在区间 上的值域为 ； 若方程 在区间 上有解， 必有 ，则有 ， 即a的取值范围是 ； 故选：A．
根据题意，可以将原问题转化为方程 在区间 上有解，构造函数 ，利用导数分析 的最大最小值，可得 的值域，进而分析可得方程 在区间 上有解，必有 ，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程 在上有解．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线
则此双曲线的离心 的一条新近线的斜率为 ，率为______．
【答案】2
【解析】解：双曲线所以，所以
的一条新近线的斜率为 ，可得 ，
，
，所以 ． 故答案为：2．
利用双曲线的渐近线的斜率，得到a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
14. 已知等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，若 ， ，
则 的值为______． 【答案】1
【解析】解： ， ， ，
，
， ， 故答案为：1．
根据等比数列的性质求出 ，再根据 ，求出首项．
本题考查了等比数列的性质和等比数列的求和公式和通项公式，属于中档题．
15. 已知 的展开式中 的系数为15，则展开式中所有项的系数和为
______． 【答案】64
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【解析】解：即 解得 ， 的展开式中 的系数为15， ，
令 时，展开式的所有项系数的和 ． 故答案为：64．
由题意可得 ，解得 ，再令 即可求出展开式中所有项的系数和．
本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．
16. 已知 的半衰期为5730年 是指经过5730年后， 的残余量占原始量的一半 设
的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：
k为一个常数 现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸其中x表示经过的时间， ，
出土时 的残余量约占原始量约占原始量的 请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今______年 已知 【答案】2292
【解析】解：由 ，由题意可得：
，
两边取2为底的对数可得： ， 又 ，
两边取2为底的对数可得： ，
可得 ，
即 ， 故答案为：2292．
由题意可得 ， ，两边取2为底的对数，相除即可得到所求值． 本题考查指数函数类的应用题，考查运算能力和方程思想，属于基础题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，设
．
若 ，求BD的长度； 若 ，求 ．
【答案】解： 由 ， 设 ，
可知， ．
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在 中， ， ， ， 由余弦定理可知，
，
则 ；
由题意可知， ， ， 在 中， ， ， 由正弦定理可知， ，
即 ，
即有 ，
， 整理得
．
【解析】 在直角三角形ACD中，求得AD，在 中，运用余弦定理可得BD； 求得 ， ，在 中， ， ，运用正弦定理和两角差的正弦公式、同角的商数关系，即可得到所求值．
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18. 如图所示，圆O的直径 ，C为圆周上一点，
，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为 ， ． 证明： 平面PBC；
求二面角 一C的余弦值．
【答案】 证明： 是圆O的直径，C为圆周上一点， ，
平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面PAC，又 平面PAC， ，
又 ， 平面PBC， 平面PBC， 平面PBC．
过P作 于H，则 平面ABC，
为PC与平面ABC所成角，即 ， ，
，
，
，
过H作BC的平行线HF交AB于F，则 ， ，
以H为原点，以HA，HO，HP为坐标轴建立空间坐标系 ，
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