发布时间 : 星期六 文章高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节两条直线的交点与距离公式学案理新人教A版更新完毕开始阅读640304e5a22d7375a417866fb84ae45c3b35c2a7
第二节 两条直线的交点与距离公式
2019考纲考题考情
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2
?k1＝k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。
与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)。
(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。
与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0。 2．两直线相交
(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组
??A1x＋B1y＋C1＝0，?
?A2x＋B2y＋C2＝0?
的解一一对应。
(2)相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。 (3)平行?方程组无解。 (4)重合?方程组有无数个解。 3．三种距离公式
(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为 |AB|＝?x2－x1?＋?y2－y1?。
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为 |Ax0＋By0＋C|。 22A＋B|C2－C1|。 A2＋B222d＝(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝4．对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)。
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有
y′－y??x′－x·k＝－1，?y′＋yx′＋x＝k·＋b，??22
000
0
可求出x′，y′。
1．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0。
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2。
3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式。
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等。
一、走进教材
1．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________。
m－4
解析 由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1。
－2－m答案 1
2．(必修2P114A组T10改编)已知直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A．4 513C．
26
213B．
13710D．
20
解析 由两直线平行，可得m＝2，直线3x＋y－3＝0变形为6x＋2y－6＝0，所以两直线间的距离d＝
答案 D 二、走近高考
3．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析 由题意可得
|cosθ－msinθ－2||msinθ－cosθ＋2|
＝ m2＋1m2＋1
|1＋6|
710
＝。故选D。 22
206＋2
d＝＝＝
?2?msinθ－1cosθ??
?m＋1?2?＋2?
m2＋1??m＋1??
m2＋1
|m＋1sin?θ－φ?＋2|?
2
m2＋1
2
m1??其中cosφ＝2，sinφ＝2?，因为－1≤sin(θ
m＋1m＋1??
2
2
|2－m＋1|m＋1＋2m＋1＋22
－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，dm2＋1m2＋1m2＋1m2＋1取最大值3。故选C。
解法一：因为cosθ＋sinθ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为
2
2
d的最大值。故选C。
解法二：P是圆x＋y＝1上的动点，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝≤2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3。
答案 C 三、走出误区
微提醒：①判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况；②求平行线间距离忽视x，
2
2
21＋m2
y的系数相同。
4．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋a＝0平行，则实数a＝________。 解析 因为直线l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a＝1，且a≠－1，所以a＝1。 答案 1
5．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________。
解析 先把两直线方程化为同系数方程：6x＋8y－24＝0和6x＋8y＋5＝0，|PQ|的最小|5－?－24?|29值即为两平行直线间的距离，故d＝＝。 22
106＋8
答案
29
10
2
2
6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________________。
解析 过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求44
得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0。
55
答案 3x＋19y＝0
考点一两条直线的平行与垂直问题
【例1】 (1)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3。若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10 C．0
直线l2互相垂直，则实数a的值为________。
4－m解析 (1)因为l1∥l2，所以＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，
m＋2因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。
3a－0－2a－?－1?1－2a(2)l1的斜率k1＝＝a。当a≠0时，l2的斜率k2＝＝。因为l1
1－?－2?a－0aB．－2 D．8
(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的
⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·
1－2a＝－1，解得a＝1。当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这
a时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2。综上可知，实数a的值为1或0。
答案 (1)A (2)1或0
1．讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在。
2．“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且
A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”。
【变式训练】 (1)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos?( )
4A． 5C．2
4B．－ 51D．－ 2
?2 017π－2α?的值为
?
?2?
解析 (1)由直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，且4a＋4≠0，所以a＝2，所以a＝2是直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行的充要条件。
1
(2)直线x＋2y－3＝0的斜率为－，因为倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂
2直，所以tanα＝2，则cos?
?2 017π－2α?＝cos?1 008π＋π－2α?＝cos?π－2α?＝
????2?2?2?????
2sinαcosα2tanα4
sin2α＝2＝＝。故选A。 22
sinα＋cosα1＋tanα5
答案 (1)A (2)A
考点二两条直线的交点与距离问题
【例2】 (1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________。
(2)(2019·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________。
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(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，
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