发布时间 : 星期一 文章(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程仿真模拟卷一理更新完毕开始阅读628374d6cd7931b765ce0508763231126fdb7790
由点P在双曲线上，得
?－11a?2?8a?2?5??5?????
a2
－b2
＝1，
b22c整理得2＝，∴e＝＝
a3ab215
1＋2＝. a3
12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄
??1，x∈Q，
利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y＝f(x)＝?
?0，x∈?RQ，?
其中R为实数集，Q为有理数
集．则关于函数f(x)有如下四个命题：
①f[f(x)]＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C
解析 当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0.∴当x为有理数时，f[f(x)]＝f(1)＝1；当x为无理数时，f[f(x)]＝f(0)＝1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f[f(x)]＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故②正确；当T∈Q时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对x∈R恒成立，故③正确；取x1＝
33
，x2＝0，x3＝－，f(x1)＝0，33
f(x2)＝1，f(x3)＝0，∴A?
确，故选C.
3??3??
，0?，B(0,1)，C?－，0?，△ABC恰好为等边三角形，故④正?3??3?
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
x－3y＋4≥0，??
13．已知x，y满足约束条件?x－2≤0，
??x＋y≥0，
答案 8
22
x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．x＋y表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方．
22
- 5 -
由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，－2)，B(2,2)，又|OA|＝|OB|＝22，∴(x＋y)max＝8.
14．设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝
2
2
AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是________．
答案 22
解析 设AB＝AC＝AA1＝x，在△ABC中，∠BAC＝120°，则由余弦定理可得BC＝3x. 由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径为r＝x， 又∵球的表面积是40π，∴球的半径为R＝10.
?1?22
设△ABC外接圆的圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，有?x?＋x＝10，解得x＝22，
?2?
即AA1＝22.∴直三棱柱的高是22.
15．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
- 6 -
答案
3 16
解析 由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，3313
而S梯形EFOH＝S△DOF＝×S正方形ABDF＝S正方形ABDF，
44416
∴所求的概率为P＝
S梯形EFOH3
＝. S正方形ABDF16
n*
16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3(n∈N，n≥1)，则数列{Sn}的通项公式为________． 答案 Sn＝3－2
解析 ∵an＋1＝Sn＋3＝Sn＋1－Sn， ∴Sn＋1＝2Sn＋3， ∴
nnnnSn＋12Sn1
3
n＋1
Sn＋12?Sn?
＝·n＋，∴n＋1－1＝?n－1?， 33333?3?
S112
又－1＝－1＝－， 333
?Sn?22
∴数列?n－1?是首项为－，公比为的等比数列，
33?3?
Sn2?2?n－1?2?n∴n－1＝－×??＝－??， 33?3??3?
∴Sn＝3－2.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且3bcosA＝sinA(acosC＋ccosA)．
(1)求角A的大小；
nn - 7 -
53
(2)若a＝23，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
4解 (1)∵3bcosA＝sinA(acosC＋ccosA)， ∴由正弦定理可得，
3sinBcosA＝sinA(sinAcosC＋sinCcosA) ＝sinAsin(A＋C)＝sinAsinB，
即3sinBcosA＝sinAsinB，∵sinB≠0，∴tanA＝3， π
∵A∈(0，π)，∴A＝.
3
π53
(2)∵A＝，a＝23，△ABC的面积为，
341353
∴bcsinA＝bc＝，∴bc＝5， 244∴由余弦定理可得，a＝b＋c－2bccosA， 即12＝b＋c－bc＝(b＋c)－3bc＝(b＋c)－15， 解得b＋c＝33，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝23＋33＝53.
18．(本小题满分12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，
2
2
2
2
2
2
2
AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
1
(3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．
3
- 8 -