发布时间 : 星期六 文章《金属塑性成形原理及工艺》课程讲义更新完毕开始阅读5ee68d20af45b307e8719795
式中： ——试样原始标距长度； ——拉伸后标距的长度。
（2）相对断面收缩率
相对断面收缩率用Ψ表示，公式为：
（5-14）
式中： A0——试样原始断面积； A1——拉伸后试样的断面积 2．对数应变
对数应变又称真实应变。
设在单向拉伸过程某瞬间时试样的长度为l，该瞬间后试样的长度又伸长了dl，则其应变增量为： 当试样从l0伸长至l1时，则总应变为：
5-16（（5-15））
被称为对数应变，是用应变增量的积分来表示的增量应变，它反映了物体变形的实际情况，故又称为真实应变。
3．对数应变的特点
与相对应变相比，对数应变具有一下特点： （1）对数应变具有叠加性，为可加应变。
设某个物体原长为l0，经历了l1、l2变为l3，各阶段的对数应变为：
总的对数应变为：
所以有：
所以可以得出结论：对数应变反映了变形的积累过程，而相对应变则不具有可加性。 （2）对数应变为可比应变
例如将试样拉长一倍，再压缩到原长，其对数应变的数值相等。拉长一倍时：
再缩短一倍时：
负号表示应变方向相反。相对应变不具有这种可比性。
由于对数应变反映了瞬时的变形，真实地表示了塑性变形过程，因此在金属塑性成形中一般都采用对数应变来表示变形程度。但是，对数应变不具有坐标旋转的性质，只能用于主应变方向不变的情况，所以它不是张量。
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十二、塑性变形体积不变原理
塑性变形时，由于材料连续而且致密，体积变化很微小，与形状变化相比可以忽略，因此认为塑性变形时体积不变。也就是说，塑性变形前的体积等于变形后的体积。
在金属塑性成形过程中，体积不变条件是一项很重要的原则，有些问题可以根据几何关系直接利用体积不变条件来求解。此外，体积不变条件还用于塑性成形过程的坯料或者工序半成品的形状和尺寸的计算。 十三、平面变形和轴对称变形
1．平面变形问题
如果物体内所有质点都只在一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形叫做平面变形。 设z方向没有应变，则z方向为主方向，z向的位移为0，而且各位移分量与z轴无关。 平面塑性变形时应变为零的方向的应力一般不等于零，其正应力是主应力，而切应力是一个不变量，其值为平均应力。
第六章 金属塑性变形屈服准则
屈服准则又称屈服条件或者塑性条件，它是变形体由弹性状态向塑性状态过渡的力学条件。历史上有不少人提出了不同的假说来描述受力物体（质点）由弹性状态向塑性状态过渡的力学条件，目前，被普遍应用而且比较符合实验数据的是密席斯（Mises）屈服准则和屈雷斯加（Tresca）屈服准则。 一、屈雷斯加（Tresca）屈服准则
1．屈雷斯加屈服准则描述
1864年，法国工程师屈雷斯加在金属挤压实验中首先发现了材料的屈服与最大切应力有关。即当变形体（质点）中的最大切应力达到某一个定值时，材料就发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以该准则又称为最大切应力不变条件。如果规定ζ1≥ζ2≥ζ3时，则最大切应力为：
所以，屈雷斯加屈服准则可以写成：
（6-1）
式中常数C可以通过实验求得。由于C值与应力状态无关，所以可以用单向拉伸试验来确定C值。 单向拉伸时，ζ2＝ζ3＝0及ζ1＝ζs，可得C＝ζs，所以屈雷斯加屈服准则为：
2．屈雷斯加屈服准则数学表达式
如果不知道主应力的大小顺序，则屈雷斯加屈服准则为：
（6-2）
等式左边是主应力之差，所以该屈服准则又称为主应力差不变条件。上述三个式子只要满足其中一个，该点即进入塑
性状态。
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二、密席斯（Mises）屈服准则
1．密席斯屈服准则理论描述
1913年，德国力学家密席斯提出了另一个屈服准则，被称之为密席斯准则。
密席斯准则叙述如下：当等效应力达到某个定值时，材料即进行屈服，该定值与应力状态无关。或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形时的性质，而与应力状态无关。
2．密席斯屈服准则数学表达式
根据密席斯屈服准则的理论描述，有：
（6-3）
由于常数C与应力状态无关，因此它可以由单向拉伸实验确定。单向拉伸是，有：
ζ2＝ζ3＝0；
所以有： C＝ζs 所以：
（1）主轴坐标下，密席斯屈服准则的表达式为：
（6-4）
＝ζ1＝ζs
（2）任意坐标系下，密席斯屈服准则的表达式为：
（6-4a）
3．平面应力状态的密席斯准则
对于平面应力状态，如果假设ζz＝ηyz＝ηxz＝0，或者ζ3＝0，则密席斯准则为： 在任意坐标系下：
ζx2＋ζy2－ζxζy＋3ηxy2＝ζs2 （6-5）
在主轴坐标系下：
ζ12－ζ1ζ2＋ζ22＝ζs2 （6-5a）
4．平面变形状态的密席斯准则 平面变形时，由于ηyz＝ηzy＝0，或，密席斯屈服准则可以表示
为：
在任意坐标系下：
(6-6)
在主轴坐标系下：
（6－6a）
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三、屈服准则的几何表达
屈服准则的数学表达式可以用几何图形形象地表示出来。这也是屈服准则的第三种表达方式——几何表达法。它在ζ1、ζ2、ζ3坐标系的主应力空间是曲面，称为屈服表面；在主应力坐标平面是封闭曲线，称为屈服轨迹。
1．平面应力状态的密席斯屈服轨迹
用主应力表示平面应力状态（ζs＝0）的密席斯屈服准则为：
ζ12－ζ1ζ2＋ζ22＝ζs2 （a）
这个式子在ζ1-ζ2坐标平面是一个椭圆。为了表达清楚，把坐标轴旋转45°，则新老坐标之间有这样的关系： 将该式代入式a中，并整理得到一个椭圆形式的方程：
（b）
该方程的图形表示如图6－1所示的椭圆，其中，椭圆中心在原点，椭圆对称轴与原坐标轴（ζ1、ζ2轴）称45°，
（c）
长半轴为
，短半轴为
，与原坐标轴的截距为 ±ζs。这个椭圆就是平面应力状态的密席斯屈服轨迹，
称为密席斯椭圆。
图6－1 平面应力状态的屈服轨迹
2．平面应力状态的屈雷斯加屈服轨迹
根据屈雷斯加屈服准则，在平面应力状态下，当σ3＝0时，屈雷斯加屈服准则的数学表达式为：
（6－7）
这些式子每一个都表示两条互相平行且对称的直线，这些直线在σ1－σ2平面上构成了一个内接于密席斯椭圆的六边形，如图6－1所示，这就是平面应力状态的屈雷斯加屈服轨迹，称为屈雷斯加六边形。
3．由屈服轨迹判断材料的塑性变形状态
由屈服轨迹可以很只直观地判断材料在平面应力状态下是否处于塑性状态。任一两向应力状态都可以用σ1－σ2平面上的一点P来表示，并可以用矢量OP代表。
如果P点落在屈服轨迹的里面，则材料的质点正处于弹性状态；如果P点在轨迹上，则该质点处于塑性状态。对于理想塑性材料，P点不可能位于轨迹的外面。
4。屈雷斯加屈服轨迹和密席斯屈服轨迹的差异 由6－1图可以看出两个屈服轨迹的差异：
（1）在屈服轨迹的六个交点上，两个准则是一致的。
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