发布时间 : 星期五 文章《金属塑性成形原理及工艺》课程讲义更新完毕开始阅读5ee68d20af45b307e8719795
应力偏张量的第一变量J1’＝0，表明应力分量中已经没有静水应力成分。第二不变量J2’与屈服准则有关。第三不变量J3’决定了应变的类型；J3’>0属于伸长类应变；J3’＝0属于平面应变；J3’<0属于压缩类应变。 十一、八面体应力和等效应力
1．八面体应力
以变形体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作等倾的微分面，其法线与三个坐标轴的夹角都相等。在主轴坐标系空间的八个象限的等倾斜面就构成了一个正八面体，如图4－9所示，正八面体的每个平面称为八面体平面，该面上的应力叫做八面体应力。
图4－9
八面体平面的方向余弦为：
将它代入前面（4－7a）和（4－8a）中，可得到主轴坐标系下八面体的正应力和切应力为：
（4-20）
（4-21）
由式4－20可以看出，ζ8就是平均应力，即球张量，是不变量。η8则是与应力球张量无关的不变量，反映了三个主切应力的综合效应，与应力偏张量第二不变量J2′有关。
将上式中的J1和J2′分别用式（4－11）和（4－19）代替，可以得到任意坐标系下应力分量表示的八面体应力： 主应力平面（6个）、主切应力平面（12个）和八面体平面（8个）都是一点应力状态的特殊平面，总共有26个，这
（4-20a）
（4-21a）
些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要意义。
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2．等效应力
将八面体切应力乘以3/
得到另一个表示应力状态不变量的参量，称为等效应力，也称广义应力或者应力强度，用
表示。
（1）对于主轴坐标系，等效应力的公式为：
（2）对于任意坐标系，等效应力的公式为：
（4－22）
（4－22a）
等效应力并不代表某一个实际平面上的应力，因而不能在某一特定平面上表示出来，它表示了三个主应力的综合效果。也可以理解为等效应力代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。等效应力是研究塑性变形的一个重要概念，它和材料的塑性变形有密切的关系。
在单向拉伸时，由于ζ2＝ζ3＝0，由式（4－23）得到：
＝ζ1 十二、应力平衡微分方程
在外力作用下处于平衡状态的变形物体，其内部点与点之间的应力大小是连续变化的，也就是说，应力是点的坐标的连续函数。
人们通过推导得出直角坐标系中质点的应力平衡微分方程为：
（4-23）
十三、平面问题的应力状态
在变形体为板料或者薄壁件时，常常可以认为某个平面（如板面）上没有应力作用，这就是平面应力状态。 1．平面应力状态的特点：
（1） 变形体内各质点在与某一方向（如z方向）垂直的平面上没有应力作用，即 ζz＝ηzx＝ηzy＝0，z轴为主方向，只有ζx、ζy、ηxy三个应力分量；
（2）ζx、ζy、ηxy沿z向均匀分布，即应力分量与z轴无关，对z的偏导数为零。 在工程实际中，薄壁管扭转、薄壁容器承受内压、板料成形中的一些工序等，由于厚度方向的应力相对很小可以忽略，一般均作平面应力状态来处理。
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2．平面应力状态的应力张量
（4-24）
1． 直角坐标中平面应力状态的应力平衡微分方程
因为有ζz＝η
zx＝ηzy＝0，所以直角坐标系中平面应力状态的应力平衡微分方程为：
（4－25）
平面应力状态下任意斜面上的应力、主应力和主切应力可分别由三向应力状态的公式推导出来。设斜面AB的法线N与x轴的夹角为θ，则该斜面上的三个方向余弦分别为：
l＝cosθ， m＝cos（90°－θ）＝sinθ， n＝0
4．平面应力状态的全应力公式
(4-26)
5．平面应力状态下斜面上的正应力公式
（4-27）
6．平面应力状态下斜面上的切应力
7．平面应力状态的三个不变量
J1＝σx＋σy； J2＝－σxσy＋τxy2； J3＝0
8．平面应力状态的应力状态特征方程
σ2－（σx＋σy）σ＋σxσy－τxy2＝0
9．平面应力状态下的主应力公式
（4-29）
10．平面应力状态下的主切应力
（4-28）
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特别说明：平面应力状态中z方向虽然没有应力，但是有应变。只有在纯剪切时，没有应力的方向才没有应变。
（4-30）
十四、平面应变状态下的应力状态
1．概念
变形物体在某一方向不产生变形，称为平面应变，其应力状态称为平面应变状态下的应力状态。 2．平面应变的应力状态的特点
（1）不产生变形的方向（如z方向）为主方向，与该方向垂直的平面上没有切应力，即ηzx＝ηzy＝0,因此ζz为主应力。
（2）在z方向有阻止变形的正应力，其值为： 对于弹性变形：ζz＝ν（ζx＋ζy），其中ν为泊松比；η23＝η31 对于塑性变形：ζz＝（ζx＋ζy）/2＝ζm
（3）所有应力分量沿z轴均匀分布，即与z轴无关，对z的偏导数为零。3．任意坐标下平面应变状态下的应力张量
（4-31）
4．主轴坐标系下平面应变状态的应力张量
（4-31a）
平面应变状态的应力平衡微分方程、变形平面中斜面上的应力和主应力均与平面应力状态的相同。 5．平面应变状态的主切应力和最大切应力
（4-32）
由上式得知，平面应变状态下，最大切应力所在的平面与变形平面上的两个主平面交成45度角，这是建立平面应变滑移线理论的重要依据。
第五章 金属塑性变形应变分析
一、基本概念
1．应变
表示质点变形大小的物理量称为应变。或者说，单位面积上的变形称为应变。
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