发布时间 : 星期六 文章《金属塑性成形原理及工艺》课程讲义更新完毕开始阅读5ee68d20af45b307e8719795
可以看出，两个下标相同的应力是正应力，如ζxx，一般写成ζx的形式；两个下标不相同的是剪切应力，如ηxy。 （3）应力分量的正、负方向规定
应力分量的正、负按以下方法确定：在单元体上，外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，在正面上，指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向负向的取负号；相反的，外法线指向坐标轴负向的微分面叫做负面，在负面上，正向坐标轴正向的应力分量取负号，指向负向的取正号。按照这个规定，正应力分量以拉为正，压为负。
（4）剪应力互等定律
由于单元体是处于静力平衡状态，所以绕单元体各轴的合力矩必须等于零，由此可以得到如下的关系式：
这个式子叫做剪应力互等定律。它表明了：为了保持单元体的平衡，剪应力总是成对出现。因此，实际上只需六个应
力分量就可以表示点的应力状态。 2．应力张量
我们上面的应力分量是在任意坐标系下取得的。如果取不同的坐标系，则用来表示点的应力状态的九个应力分量会不同，这是否表示点的应力状态会因坐标系而不同呢？
答案是否定的。由于物体所受的外力条件一定，所以，实际上物体内任意点的应力状态也是确定的，它不可能因为所选坐标系不同而不同。问题在哪里呢？
人们通过公式推导发现，在不同坐标系中的九个应力分量可以用一个线性关系来互相变换，也就是说，九个应力分量符合二阶张量（简称张量）的性质。因此，点的应力状态是张量，叫做应力张量。
点的九个应力分量可以用一个统一的符号表示：ζij，其中i,j=x,y,z
将表示点的应力状态的九个应力分量写成矩阵形式，就得到了表示点的应力状态的张量矩阵。该应力张量的形式为：
(4-3)
（4－4）
由剪应力互等定律，该矩阵形式也可以表示成：
（4－4a）
张量具有很多特性，如可以合并，可以分解，存在主方向、主值和不变量等等，这些特性对于进一步分析应力状态非常有用。
五、任意斜面上点的应力
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如果变形体中的一点的九个应力分量为已知，那么就可以通过九个应力分量求得过该点的任意斜面上的应力。
图4－4
如图4-4所示，已知某个坐标系中Q点的三个互相垂直的坐标面上的应力分量为ζij，现过Q点作一个任意斜面ABC,假设这个斜面与三个坐标轴x、y、z的方向余弦分别为：
l = cos（ N，x）；m = cos（ N，y ）；n = cos（N，z）
假设斜面面积为dA，则dA在三个坐标面上的投影面积分别为：
dAx = ldA；dAy = mdA；dAz = ndA
现设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体QABC处于平衡状态，由静力
平衡条件由∑Fx = 0，∑Fy= 0，∑Fz = 0即有：
SxdA –ζxdAx – ηyxdAy – ηzxdAz = 0 SydA –ζydAy – ηxydAy – ηzydAz = 0 SzdA –ζzdAz – ηyzdAy – ηxzdAz = 0
整理得：
(4-5)
而全应力公式为：
(4-6)
全应力S在法线N上的投影就是斜面上的正应力ζ，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之和，即： 斜面上的切应力为：
(4-7)
（4-8)
六、主应力和应力不变量
由上面的推导，可以知道，任意斜面上的正应力ζ和切应力η是随着该面法线N的方向余弦l、m、n的变化而变化的。人们发现，过这一点可以作无数个斜面，在这些斜面中，总能得到这样一组斜面，其上只有正应力而没有斜应力。
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1．主平面
切应力为零的平面称为主平面。 2．主应力
主平面上的正应力称为主应力。 3．主方向
主平面的法线方向，也就是主应力的方向，称为主方向，也称应力主轴。
4．任意坐标系下主方向求解方程
现在假设图4－4中的斜面ABC是一个主平面，面上的切应力η＝0，所以ABC面上的正应力就是全应力，即ζ=S。
所以全应力S在三个坐标轴上的投影分别为：
Sx＝Sl＝ζl Sy＝Sm＝ζm Sz＝Sn＝ζn
将Sx、Sy、、Sz的值代入式4－6中，并作相应整理得：
（4-9）
这个式子是以l、m、n为未知数的齐次线性方程，常数项为零，它的解就是应力主轴的方向。
5．应力状态特征方程
由解析几何可知，方向余弦之间又存在如下的关系：
l2 + m2 + n2 = 1 （4-10）
从这个式子可知，l、m、n不能同时为零。根据线性方程理论，只有在方程组的系数组成的行列式等于零的条件下，该方程组才有非零解，所以有：
展开这个行列式，并且整理得到：
ζ3－（ζx＋ζy＋ζz）ζ2＋[ζxζy＋ζyζz＋ζzζx－（η
－[ζxζyζz＋2η现假设：
xyηyzηzx－（ζxηyz
2
222
xy＋ηyz＋ηzx）]ζ
＋ζyη
22
zx＋ζzηxy）]＝0
（4－11） 7 于是有：
σ－J1σ―J2σ―J3＝0 (4-12)
式（4－12）被称为应力状态特征方程。可以证明，这个方程有一组唯一的实根，它的三个实根就是主应力ζ1、ζ2、ζ3。将所得的主应力值代入式（4－9）中的任意两式，并与式（4－10）联解，便可以求出三个互相垂直的主方向。 6．应力张量的不变量
对于一个确定的应力状态，只能有一组主应力。因此，方程式（4－12）的系数J1、J2和J3应该是一个定值，不会随着坐标而变化，所以它们被分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。
可以得出如下的结论：尽管应力张量的各个分量随坐标的变化而变化，但由应力分量所组成的式（2－11）的函数值不会改变。所以，应力张量的三个不变量表示了一个确定的应力状态与其应力分量之间的确定关系。
存在主值、有主方向和不变量，这些也正是张量的重要特性。 7．主轴坐标系下斜面上的应力公式
如果以主轴作为坐标系，则一点的应力状态只有三个主应力，应力张量为
3
2
（4-4b）
在主轴坐标系中斜面上应力的公式可以简化成下列表达式：
S1＝ζ1l；S2＝ζ2 m；S3＝ζ3 n （4－5a） S2＝ζ12l2＋ζ
22222m＋ζ3n
2
（4－6a）
ζ＝ζ1l2＋ζ2m＋ζ3n2 （4－7a） η2＝S2－ζ2＝ζ12l2＋ζ
8．主轴坐标系下的应力不变量
由此可得主轴坐标系中，用主应力分量表示的三个不变量公式为：
2222
2m＋ζ3n－（ζ
1
l2＋ζ2m2＋ζ3n2）2 (4－8a)
（4－11a）
由此可见，用主应力表示应力状态，可以使运算大为简化，在后面的工序分析中，一般都近似认为变形过程处于主应力状态。 9．应力椭球面
由式（4－5a）可得：
由于有： l2＋m2＋n2＝1 所以可以得到：
(4-13) 8