发布时间 : 星期一 文章中考数学专题复习分类练习 直角三角形的边角关系综合解答题更新完毕开始阅读5dfc8175824d2b160b4e767f5acfa1c7aa0082af
（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下： 连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴CE=DE=BE=
BC，
∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°， ∴∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°， ∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径， ∴DE为⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴
，即BC2=AC?CD．
∴BC2=2CD?OE； （3）解：∵cos∠BAD=∴sin∠BAC=又∵BE=
，
，
，
，E是BC的中点，即BC=
∴AC=
．
又∵AC=2OE， ∴OE=
AC=
．
考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数
6．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝ 度（直接填空）； （2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝
1EC； 2（3）当AB＝22，且点E到AC的距离等于3﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．
【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）tan?EAC?【解析】 【分析】
（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；
6?33 11（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；
（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP＝3x，EH＝2PH＝2x，
由此FH＝2x+3﹣1，CF＝23x+3﹣3，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP＝3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝1+3，由此tan∠EAF＝2﹣3，根据对称性可得tan∠EAC＝
6-33． 11【详解】 （1）如图1中，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°， ∴∠EDC＝90°， 故答案为90；
（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．
∵∠DAE＝∠BAP＝90°， ∴∠BAD＝∠PAE， ∵∠B＝45°， ∴∠B＝∠APB＝45°， ∴AB＝AP， ∵AD＝AE，
∴△BAD≌△PAE（SAS）， ∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°， ∴∠EPD＝∠EPC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴EC＝2PE＝2BD；
（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．
设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，
∴EP＝3x，EH＝2PH＝2x，
∴FH＝2x+3﹣1，CF＝3FH＝23x+3﹣3， ∵△BAD≌△PAE， ∴BD＝EP＝3x，AE＝AD， 在Rt△ABG中，∵AB＝22， ∴AG＝GB＝2，
在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4， ∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，
∴22+（2﹣3x）2＝（3﹣1）2+（4﹣23x﹣3+3）2， 整理得：9x2﹣12x＝0， 解得x＝
4（舍弃）或0 3∴PH＝0，此时E，P，H共点， ∴AF＝1+3， ∴tan∠EAF＝
EF3?1＝＝2﹣3． AF3?16-33． 11根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC＝【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）
（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．