发布时间 : 星期三 文章中考数学专题复习分类练习 直角三角形的边角关系综合解答题更新完毕开始阅读5dfc8175824d2b160b4e767f5acfa1c7aa0082af
中考数学专题复习分类练习 直角三角形的边角关系综合解答题
一、直角三角形的边角关系
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30?、60?,此时无人机的飞
行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A'处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机A'上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）【解析】 【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过A'作A'E?BC交BC的延长线于E，连接A'D，于是得到A'E?AC?60，
23. 5CE?AA'?303，在Rt△ABC中，求得DC=
即可得到结论． 【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ABC中，AC=60m，
3AC=203，然后根据三角函数的定义3AC?AB==1=120（m）
sin30?602（2）过A'作A'E?BC交BC的延长线于E，连接A'D， 则A'E?AC?60， CE?AA'?30在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
3，
?DC=3AC=203 3?DE=503
?tan∠AA'D= tan∠A'DC=
60A'E23 ==DE503523． 5答：从无人机A'上看目标D的俯角的正切值是
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B． ②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ， ∵PF∥BC， ∴∠DFP=∠ADF， ∴∠DFQ=∠ADF， ∴△DEF是等腰三角形；
（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，
13 . 或
23∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC， ∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF， ∵PF∥BC， ∴△DPF∽△DCB， ∴△DP′F′∽△DCB ∴
DCDP'? ， DBDF'∴△DP'C∽△DF'B；
②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=∴
1BD， 2DF'1?， BD2DF'1?； BD2∴tan∠DBF′=
当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意； 当∠DF′B=90°时，如图所示，
1BD， 2∴∠DBF′=30°，
∵DF′=DF=∴tan∠DBF′=3. 3
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定
理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
3．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE. 特殊发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）． 问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记
AC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） BC
【答案】?1? PC?PE成立 ?2? ，PC?PE成立 ?3?当k为角形 【解析】 【分析】
3时，VCPE总是等边三3（1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，得到EF∥MP∥CB，从而有
EMFP?，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE． MCPB（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论．
（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE成立，理由如下：
如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，
ACAC?k，=tan30°，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是BCBC