发布时间 : 星期五 文章2010年高考数学试题分类汇编 - 数列 - 图文更新完毕开始阅读5bbe902eb4daa58da0114a9a
（2010北京文数）（16）（本小题共13分） 已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。 因为a3??6,a6?0 所以??a1?2d??6 解得a1??10,d?2
?a1?5d?0所以an??10?(n?1)?2?2n?12 （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为b2?a1?a2?a3??24,b??8
所以?8q??24 即q=3
b1(1?qn)?4(1?3n) 所以{bn}的前n项和公式为Sn?1?q
（2010北京理数）（20）（本小题共13分）
已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,…，xn),x1?{0,1},i?1,2,…,n}(n?2)对于A?(a1,a2,…an,)，
B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定义A与B的差为 A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);
A与B之间的距离为d(A,B)??i?1|a1?b1|
（Ⅰ）证明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B); （Ⅱ）证明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P?Sn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 证明：（P）≤(P). ddmn. 2(m?1)（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 证明：（I）设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn 因为ai，bi??0,1?，所以ai?bi??0,1?,(i?1,2,...,n) 从而A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,...,|an?bn|)?Sn 又d(A?C,B?C)?www.@ks@5u.com ?||a?c|?|b?c|| iiiii?1n由题意知ai，bi，ci??0,1?(i?1,2,...,n). 当ci?0时，||ai?ci|?|bi?ci||?||ai?bi|; 当ci?1时，||ai?ci|?|bi?ci||?|(1?ai)?(1?bi)|?|ai?bi|
所以d(A?C,B?C)??|a?b|?d(A,B)
iii?1n(II)设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn d(A,B)?，kd(A,C)?l，d(B,C)?h. 记O?(0,0,...,0)?Sn，由（I）可知
d(A,B)?d(A?A,B?A)?d(O,B?A)?k d(A,C)?d(A?A,C?A)?d(O,C?A)?l d(B,C)?d(B?A,C?A)?h
所以|bi?ai|(i?1,2,...,n)中1的个数为k，|ci?ai|(i?1,2,...,n)的1的
个数为l。
设t是使|bi?ai|?|ci?ai|?1成立的i的个数，则h?l?k?2t 由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数， 即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。 （III）d(P)?12CmA,B?P?d(A,B),其中A,B?P?d(A,B)表示P中所有两个元素间距离的总和，www.@ks@5u.com 设P种所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m?ti个0 则A,B?P?d(A,B)=?t(m?t) iii?1nm2(i?1,2,...,n) 由于ti(m?ti)?4nm2所以?d(A,B)? 4A,B?P1从而d(P)?2Cmnmmnd(A,B)?? ?24Cm2(m?1)A,B?P2
（2010四川理数）（21）（本小题满分12分） *已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a3，a5；
*
（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N)，证明：{bn}是等差数列；
－*
（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn1(q≠0，n∈N)，求数列{cn}的前n项和Sn.
本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分
*
(2)当n∈N 时，由已知(以n＋2代替m)可得
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得
w_w w. k#s5_u.c o*ma2n?1?a1-(n－1)2. 2a?a2n?1那么an＋1－an＝2n?1－2n＋1 28n?2 ＝－2n＋1 2an＝
w_w w. k#s5_u.c o*m ＝2n －于是cn＝2nqn1. 当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) －当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn1. 两边同乘以q，可得 qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得 － (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn1)－2nqn w_w w. k#s5_u.c o*m1?qn ＝2·－2nqn 1?q1?(n?1)qn?nqn?1 ＝2· 1?qnqn?1?(n?1)qn?1所以Sn＝2· (q?1)2?n(n?1)(q?1)?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1…………………………12分 2?(q?1)?(q?1)2?
（2010天津文数）（22）（本小题满分14分） 在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N，a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.
*（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式；
2232n23??????，证明?2n?Tn?（（Ⅲ）记Tn?. 2n?2）a2a3an2