发布时间 : 星期六 文章[最新]2020版高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性学案 新人更新完毕开始阅读5add36b9bb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28bec
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2.2.2 事件的相互独立性
学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一 相互独立的概念
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，事件B为“从乙箱里摸出白球”． 思考1 事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ 答案 不影响．
思考2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ 31答案 P(A)＝，P(B)＝，
52
P(AB)＝
3×23＝. 5×410
思考3 P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ 答案 P(AB)＝P(A)P(B)． 梳理
条件 结论
知识点二 相互独立的性质
条件 设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B) 称事件A与事件B相互独立 A与B是相互独立事件 结论 A与B?B与A?也相互独立 A与B?
1．不可能事件与任何一个事件相互独立．( √ ) 2．必然事件与任何一个事件相互独立．( √ )
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3．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )
4．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( √ )
类型一 事件独立性的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断
解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
5
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩84
下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事75
件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是
7相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}， 31211
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
62636所以P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A与B相互独立．
反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
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(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断
解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 1
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为. 4这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}，
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于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 242由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
1
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本
8事件，AB中含有3个基本事件．
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于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
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显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
8从而事件A与B是相互独立的． 类型二 求相互独立事件的概率
例2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
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所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1. (1)由题意得A，B，C之间互相独立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(A B C)
＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 引申探究
1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率． 解 恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(AB C)＋P(ABC)＋P(A BC)＝P(A)P(B)·P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
2．若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解 事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B. (2)A，B都发生为事件AB. (3)A，B都不发生为事件A B. (4)A，B恰有一个发生为事件AB＋AB.
(5)A，B中至多有一个发生为事件AB＋AB＋A B.
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跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，求两人破译时，以下事
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