发布时间 : 星期一 文章精品解析：2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(解析版)更新完毕开始阅读5ad771c8ec630b1c59eef8c75fbfc77da3699773
若a?0，(??,??)区间上单调递增；在区间[0,1].所以f(0)??1，f(1)?1代入解得 ??a?0.
?b??1若0?a?2，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增.
a3a3aa33而f(0)?b,f(1)?2?a?b?f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(1).
即f(x)在区间(0,)单调递减，在区间(,1)单调递增，所以区间[0,1]上最小值为f()
a3a2?a3?2()?a()?b??1a3即?3相减得2?a?3?2，即a(a?33)(a?33)?0，又因为0?a?2，所以
27??2?a?b?1无解.
若2?a?3，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增.
a3a3aa33而f(0)?b,f(1)?2?a?b?f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(0).
即f(x)在区间(0,)单调递减，在区间(,1)单调递增，所以区间[0,1]上最小值为f()
a3a2?a32()?a()?b??1?a3即?3相减得3?2，解得x?332，又因为2?a?3，所以无解.
27?b?1?若a?3，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增. 所以有f(x)区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为f(0)，最小值为f(1) 即?a3a3?b?1?a?4. 解得??2?a?b??1?b?1?a?4?a?0. 或??b??1?b?1综上得?【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。
1x2，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. 21.已知曲线C：y=
22（1）证明：直线AB过定点：
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（2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2【答案】(1)见详解；(2) 3或42. 【解析】 【分析】
B(x2,y2)，B两点处的切线方程，D(t,?)然后求出A，（1）可设A(x1,y1)，比如AD：y1?又因为BD也有类似的形式，从而求出带参数直线AB方程，最后求出它所过的定点.
121?x1(x1?t)，2（2）由(1)得带参数的直线AB方程和抛物线方程联立，再通过M为线段AB的中点，EM?AB得出t的值，从而求出M坐标和EM的值，d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离，则
d1?t2?1,d2?2t2?1，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】(1)证明：设D(t,?),A(x1,y1),则y1?又因为y?故y1?1212x1。 212x，所以y'?x.则切线DA的斜率为x1， 21?x1(x1?t)，整理得2tx1?2y1?1?0. 2设B(x2,y2)，同理得2tx1?2y1?1?0.
A(x1,y1),B(x2,y2)都满足直线方程2tx?2y?1?0.
于是直线2tx?2y?1?0过点A,B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2tx?2y?1?0.即2tx?(?2y?1)?0，
当2x?0,?2y?1?0时等式恒成立。所以直线AB恒过定点(0,). （2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?121. 21?y?tx???2由?，可得x2?2tx?1?0， 2?y?x?2?2于是x1?x2?2t,x1x2??1,y1?y2?t(x1?x2)?1?2t?1
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|AB|?1?t2|x1?x2|?1?t2(x1?x2)2?4x1x2?2(t2?1).
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离，则d1?t?1,因此，四边形ADBE的面积S?2d2?2t?12.
1|AB|?d1?d2???t2?3?t2?1. 22设M为线段AB的中点，则M?t,t???1??， 2?由于EM?AB，而EM?t,t?2，AB与向量(1,t)平行，所以t?t?2t?0，解得t?0或t??1. 当t?0时，S?3；当t??1时S?42 因此，四边形ADBE的面积为3或42. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小。
?2??2?（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,圆心分别是(1,0)，(1,?4??)，D(2,?)，弧AB，BC，CD所在圆的4?2)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|?3，求P的极坐标.
?3?3?]),??2sin?(??[,]),???2cos?(??[,?]), 4444??2?5?),(3,). (2) (3,),(3,),(3,3366【答案】(1) ??2cos?(??[0,?【解析】
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【分析】
(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中?的取值范围. (2)根据条件??3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.
【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
M1:??2cos?(??[0,])，
4???3?3?M2:??2cos(??)?2sin?(??[,]),M3:??2cos(???)??2cos?(??[,?]).
2444(2)解方程2cos??3(??[0,解方程2sin??3(??[?4])得???6，此时P的极坐标为(3,?6)
?3?44,])得???3或???2?2?) ，此时P的极坐标为(3,)或(3,3335?3?5?,?])得??) ，此时P的极坐标为(3,466??2?5?),(3,). 故P的极坐标为(3,),(3,),(3,3366解方程?2cos??3(??[【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.
23.设x,y,z?R，且x?y?z?1.
（1）求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值； （2）若(x?2)?(y?1)?(z?a)?【答案】(1) 【解析】 【分析】
222(1)根据条件x?y?z?1，和柯西不等式得到(x?1)?(y?1)?(z?1)?2222221成立，证明：a≤?3或a??1. 34；(2)见详解. 34，再讨论x,y,z是否可以达到3等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.
22222222【详解】(1) [(x?1)?(y?1)?(z?1)](1?1?1)?[(x?1)?(y?1)?(z?1)]?(x?y?z?1)?4故
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