发布时间 : 星期日 文章答案：圆的证明计算（一）更新完毕开始阅读5abedb0926fff705cd170a71
分析： （1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题． 解答： （1）证明：如图，
方法1：连接OD、CD． ∵BC是直径， ∴CD⊥AB． ∵AC=BC．
∴D是AB的中点． ∵O为CB的中点， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴OD⊥EF．
∴EF是O的切线． 方法2：∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC， ∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO， ∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°． 即∠EDO=90°， ∴OD⊥ED
∴EF是O的切线． （2）解：连BG． ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°． ∴CD=
=8．
∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG， ∴BG=∴CG=
=
． =
．
∵BG⊥AC，DF⊥AC， ∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG，
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∴cos∠E=cos∠CBG==．
点评： 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
28．（2015?呼和浩特）如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为且∠DCF=∠P，求证：
=
=
．
的中点，
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接CM，根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，得出∠PAC=∠M，由∠M+∠MAC=90°，得出∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，就可证得结论； （2）连接AE，根据垂径定理得出AM⊥BC，进而得出AP∥BC，得出△ADP∽△CDB，根据相似三角形的性质得出=
=
．
=
，然后证得△ADE∽△CDF，得出
=
，从而证得
解答： 证明：（1）连接CM， ∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC， ∴∠PAC=∠M， ∵AM是直径，
∴∠M+∠MAC=90°， ∴∠PAC+∠MAC=90°， 即：∠MAP=90°， ∴MA⊥AP， ∴MA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线； （2）连接AE， ∵M为
中点，AM为⊙O的直径，
∴AM⊥BC， ∵AM⊥AP， ∴AP∥BC，
∴△ADP∽△CDB，
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∴=，
∵AP∥BC， ∴∠P=∠CBD， ∵∠CBD=∠CAE， ∴∠P=∠DCF， ∴∠DCF=∠CAE， ∵∠ADE=∠CDF， ∴△ADE∽△CDF， ∴∴
==
， =
．
点评： 本题考查了圆周角定理的应用，切线的判定，垂径定理的应用，三角形相似的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．
29．（2015?泰州）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）试说明DF是⊙O的切线； （2）若AC=3AE，求tanC．
考点： 切线的判定．
分析： （1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中，即可求得tanC的值． 解答： （1）证明：连接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC，
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∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线； （2）解：连接BE， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE， ∴AB=3AE，CE=4AE， ∴BE=
=2
AE， =
=
．
在RT△BEC中，tanC=
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等．
30．（2015?资阳）如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．
考点： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形． 分析： （1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由的等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．
（2）作EF⊥CD于F，设EF=x，由∠C=45°，得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=x，AB=BC=2x，AE=x，进而就可求得sin∠CAE的值． 解答： 解：（1）连接OD，BD， ∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD． ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°．
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∵E为BC的中点， ∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD， 即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线， ∴AB⊥BC， ∴∠EBO=90°， ∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）作EF⊥CD于F，设EF=x ∵∠C=45°，
∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形， ∴CF=EF=x， ∴BE=CE=x， ∴AB=BC=2x， 在RT△ABE中，AE=∴sin∠CAE=
=
．
=
x，
点评： 本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键．
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