发布时间 : 星期一 文章答案：圆的证明计算（一）更新完毕开始阅读5abedb0926fff705cd170a71
∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形； （2）连接OE，由（1）知，∴∠BOE=120°，
∵阴影部分面积为6π， ∴∴r=6．
=6π，
，
点评： 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明
是解题的关键．
24．（2015?黔西南州）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
考点： 切线的判定． 专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证； （2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=5，则PE=8．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE． 解答： （1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB， ∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF． ∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
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∵⊙O与PA相切于点C， ∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2． ∵EF是直径， ∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x． 则x2+（2x）2=62， 解得x=则EC=2x=
．
．
点评： 此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．
25．（2015?兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=3，∠B=30°． ①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
分析： （1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可． 解答： 解：（1）直线BC与⊙O相切； 连结OD，∵OA=OD，
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∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D， ∴∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°， 即OD⊥BC．
又∵直线BC过半径OD的外端， ∴直线BC与⊙O相切．
（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°， ∴OB=2r，
在Rt△ACB中，∠B=30°， ∴AB=2AC=6， ∴3r=6，解得r=2．
（3）在Rt△ACB中，∠B=30°， ∴∠BOD=60°． ∴
∴所求图形面积为
．
．
点评： 本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
26．（2015?酒泉）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： ∠BAE=90° 或者 ∠EAC=∠ABC ．
（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
考点： 切线的判定．
分析： （1）求出∠BAE=90°，再根据切线的判定定理推出即可；
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（2）作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出∠MAC+∠CAE=90°，再根据切线的判定推出即可．
解答： 解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC， 理由是：①∵∠BAE=90°， ∴AE⊥AB， ∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线； ②∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°， ∵∠EAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°， 即AE⊥AB， ∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线； （2）EF是⊙O的切线．
证明：作直径AM，连接CM， 则∠ACM=90°，∠M=∠B，
∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°， ∵∠CAE=∠B，
∴∠CAM+∠CAE=90°， ∴AE⊥AM， ∵AM为直径，
∴EF是⊙O的切线．
点评： 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．
27．（2015?安顺）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）求cos∠E的值．
考点： 切线的判定；勾股定理．
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