发布时间 : 星期一 文章答案：圆的证明计算（一）更新完毕开始阅读5abedb0926fff705cd170a71
圆的证明计算（一）参考答案
一．解答题（共30小题）
1．（2015?六盘水）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD． （1）求证：△ADO∽△ACB．
（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD?BC．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）由AB是⊙O的切线，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，问题可证；
（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到结论． 解答： （1）证明：∵AB是⊙O的切线， ∴OD⊥AB，
∴∠C=∠ADO=90°， ∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB；
（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB． ∴
，
∴AD?BC=AC?OD， ∵OD=1，
∴AC=AD?BC．
点评： 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键． 2．（2015?东营）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：AC?AD=AB?AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
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考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长． 解答： （1）证明：连接DE， ∵AE是直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠ABC， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
=
，
∴AC?AD=AB?AE； （2）解：连接OD， ∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE=BE=OD， ∴OB=2OD， ∴∠OBD=30°， 同理∠BAC=30°，
在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．
点评： 本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 3．（2015?遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD； （2）求证：AD2=AM?AB； （3）若AM=
，sin∠ABD=，求线段BN的长．
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考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果； （2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论； （3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果． 解答： （1）证明：连接OD， ∵直线CD切⊙O于点D， ∴∠CDO=90°，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∵OB=OD， ∴∠3=∠4，
∴∠ADC=∠ABD；
（2）证明：∵AM⊥CD， ∴∠AMD=∠ADB=90°， ∵∠1=∠4，
∴△ADM∽△ABD， ∴
2
，
∴AD=AM?AB；
（3）解：∵sin∠ABD=， ∴sin∠1=， ∵AM=
，
∴AD=6， ∴AB=10， ∴BD=
=8，
∵BN⊥CD， ∴∠BND=90°，
∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°， ∴∠DBN=∠1， ∴sin∠NBD=， ∴DN=∴BN=
，
=
．
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点评： 本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
4．（2015?丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F． （1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
考点： 切线的性质；扇形面积的计算．
分析： （1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论． 解答： （1）证明：连接OD， ∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线， ∴DF⊥OD， ∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE， ∴∠AOE=90°， ∵⊙O的半径为4，
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