发布时间 : 星期六 文章第二章2.3.2第1课时等比数列前n项和公式-人教B版高中数学必修5学案更新完毕开始阅读593b145c710abb68a98271fe910ef12d2af9a988
2.3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和公式
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
知识点一 等比数列的前n项和公式
已知量 求和 公式
知识点二 错位相减法
1．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．
2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法．
思考 如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？
答案 Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1 ， ① qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn-1＋anqn， ②
①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn-1－anqn ＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn-1)－anqn. 同样能转化为等比数列求和．
知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项 (1)一定不要忽略q＝1的情况；
a1?1－qn?(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用
1－qa1－anqSn＝；
1－q
(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．
首项、公比与项数 a?1－q???1?q≠1?，1－qSn＝? ??na1?q＝1?n首项、公比与末项 a－aq??1n?q≠1?，Sn＝?1－q ??na1?q＝1?
b?1－q3?
1．在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.( × )
1－q2．求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．( √ ) a1?1－qn?a1?qn－1?3.＝.( √ )
1－qq－1
4．等比数列前n项和Sn不可能为0.( × )
题型一 等比数列前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： 111
(1)，，，…； 2481
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
24311
解 (1)因为a1＝，q＝，
221??1?8?1－?2??2552?
所以S8＝＝. 12561－2
11
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
2432431
又由q<0，可得q＝－，
3
1
2431 640a1－a8qa1－a9
所以S8＝＝＝＝.
1811－q1－q?1－??－3?
27－
反思感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n2}的前100项的和；
＋
777
(2)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．
88解 (1)方法一 a1＝(－1)3＝－1，q＝－1. －1[1－?－1?100]
∴S100＝＝0.
1－?－1?
方法二 数列{(－1)n+2}为－1,1，－1,1，…， ∴S100＝50×(－1＋1)＝0.
(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，
??则?7
14－q877
?＝?81－q，7
＝14qn+1，8
1??q＝－2，解得?
??n＝3，
故此数列共有5项．
题型二 等比数列基本量的计算
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1， 则S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， a1?1－q3?2?1－q3?
得S3＝＝＝6，
1－q1－q解得q＝－2(q＝1舍去)． 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
a1－anq?a1?1－qn??
或Sn＝反思感悟 (1)an＝a1q，Sn＝两公式共有5个量．解题时，有几个?1－q?1－q??
n-1
未知量，就应列几个方程求解．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两a1?1－qn?a1－anq
个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝
1－q1－q比较方便．
跟踪训练2 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 答案 63
解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列，∴a1＝1，a3＝4，则q1×?1－26?
＝2，因此S6＝＝63.
1－2
题型三 利用错位相减法求数列的前n项和
?n?
例3 求数列?2n?的前n项和．
??
123n
解 设Sn＝＋2＋3＋…＋n，
2222
n－1n112
则有Sn＝2＋3＋…＋n＋n+1，
22222
11111n两式相减，得Sn－Sn＝＋2＋3＋…＋n－n+1，
22222211?
1－n?2?2?n11n
即Sn＝－n+1＝1－n－n+1. 21222
1－2n＋21n
∴Sn＝2－n-1－n＝2－n(n∈N＋)．
222
反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)． n?n＋1?
解 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
2当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1 x?1－xn?＝－nxn+1，
1－xx?1－xn?nxn+1
∴Sn＝－.
?1－x?21－x
n?n＋1???2，x＝1，
综上可得，S＝?x?1－x?nx
???1－x?－1－x，x≠1且x≠0.
n
n
n+1
2
分期付款模型
典例 小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)
解 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则 A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，