发布时间 : 星期四 文章2019-2020学年人教A版甘肃省兰州一中高三第二学期第五次月考数学试卷(理科) 含解析更新完毕开始阅读577779cb930ef12d2af90242a8956bec0875a57a
∴，
∴，
∵二面角B﹣PD﹣A为锐二面角， ∴二面角B﹣PD﹣A的大小为
．
20．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到
直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且 以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点
解：（1）直线
，则
，转化求解K，即可得到直线方程．
的一般方程为bx+ay﹣ab＝0．
依题意，解得，故椭圆C的方程式为．
（2）假若存在这样的直线l，
当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点， 所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+2． 由
，得（3+5k2）x2+20kx+5＝0．
由△＝400k2﹣20（3+5k2）＞0，得
记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则
，
，
．
而y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4． 要使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点即所以整理解得
或
，
＝
＝0，
，则
，
＝0，
所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线l的方程为21．已知函数
．
或
．
（Ⅰ）设函数h（x）＝alnx﹣x﹣f（x），求函数h（x）的极值；
（Ⅱ）若g（x）＝alnx﹣x在[1，e]上存在一点x0，使得g（x0）≥f（x0）成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为函数h（x）＝alnx﹣x﹣
在[1，e]上，有h（x）max≥0，通过讨论
a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的范围即可． 解：（Ⅰ）依题意h（x）＝alnx﹣x﹣∴h′（x）＝﹣1+
═﹣
，定义域为（0，+∞），
，
①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h'（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a， 此时，h（x） 在区间（0，a+1）上单调递增， 令h'（x）＜0，得 x＞1+a．
此时，h（x）在区间（a+1，+∞）上单调递减，
②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h'（x）＜0恒成立，h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，综上，当a＞﹣1时，h（x）在x＝1+a处取得极大值h（1+a）＝aln（1+a）﹣a﹣2，无
极小值；
当a≤﹣1时，h（x）在区间（0，+∞）上无极值．
（Ⅱ）依题意知，在[1，e]上存在一点x0，使得g（x0）≥f（x0）成立， 即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≥0， 故函数h（x）＝alnx﹣x﹣
，在[1，e]上，有h（x）max≥0．
由（Ⅰ）可知，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递增， ∴h（x）max＝h（e）＝a﹣e﹣
≥0，∴a≥
＞e﹣1，∴a≥
，
②当0＜a+1≤1，或a≤﹣1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递减， ∴h（x）max＝h（1）＝﹣1﹣1﹣a≥0，∴a≤﹣2． ③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，
由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a处取得极大值也是区间（0，+∞）上的最大值， 即h（x）max＝h（1+a）＝aln（1+a）﹣a﹣2＝a[ln（1+a）﹣1]﹣2， ∵0＜ln（a+1）＜1，∴h（1+a）＜0在[1，e]上恒成立， 此时不存在x0使h（x0）≥0成立． 综上可得，所求a的取值范围是a≥
或a≤﹣2．
请从下面所给的22、23题两题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分．[选修4-4：极坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
，（θ为参数）．以坐标原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1．（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求|
|的值．
【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 解：（1）直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1． 转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣1＝0． 曲线C的参数方程为
，（θ为参数）．
转换为直角坐标方程为：x2+y2＝9． （2）点M（0，﹣1），
故直线的参数方程为：（t为参数），
代入圆的方程转换为：所以：
．
，（t1和t2为A、B对应的参数），
故：
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|．
．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥x+4的解集；
（2）若不等式f（x）≥a2﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）原不等式即为|x+1|+|x﹣1|≥x+4，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；
（2）由题意可得f（x）min≥a2﹣1恒成立，运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值，再由绝对值的解法可得所求范围．
解：（1）不等式f（x）≥x+4即为|x+1|+|x﹣1|≥x+4， 可以转化为：
或
或
，
解得x≤﹣或x∈?或x≥4，∴原不等式的解集是{x|x≤﹣或x≥4}； （2）不等式f（x）≥a2﹣1恒成立等价为f（x）min≥a2﹣1恒成立，
由f（x）＝|x+a|+|x﹣1|≥|x+a﹣x+1|＝|a+1|，当且仅当（x+a）（x﹣1）≤0取得等号， 可得|a+1|≥a2﹣1?
∴实数a的取值范围是[﹣1，2]．
或
，解得a∈?或﹣1≤a≤2．