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第6章 机械波 习题
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习 题 六
6-1 一平面简谐波沿x轴负向传播，波长?=1.0 m，原点处质元的振动频率为?=2.0 Hz，振幅A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波函数．
解: 由题知t?0时原点处质点的振动状态为y0?0,v0?0，故知原点的振动初相为
?tx,取波动方程为y?Acos[2?(?)??0]则有
T?2x?y?0.1cos[2?(2t?)?]
12?0.1cos(4?t?2?x??2)m
6-2 已知波源在原点的一列平面简谐波，波函数为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C 为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程
y?Acos(Bt?Cx) (x?0)
将上式与波动方程的标准形式
y?Acos(2??t?2?x?)
比较，可知：
B， 2?2?B波长??，波速u????，
CC12?波动周期T??．
?B(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程
y?Acos(Bt?Cl)
波振幅为A，频率??(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 ???
2??(x2?x1)
第6章 机械波 习题
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将x2?x1?d，及??
2?代入上式，即得 C???Cd．
6-3 沿绳子传播的平面简谐波的波函数为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x，
y以米计，t以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质元振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求x=0.2m处质元在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式
y?Acos(2??t?2??x)
相比，得振幅A?0.05m，频率??5s?1，波长??0.5m，波速u????2.5m?s?1． (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1 amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2
(3)x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为
x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相，
即 ??9.2π．
设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则
x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m
6-4 如题6-4图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿
x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负
向传播，上述各点的振动位相又是多少?
题6-4图
解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有
第6章 机械波 习题
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对于O点：∵yO?0,vO?0，∴?O??2对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0
对于B点：∵yB?0,vB?0，∴?B??
?23?对于C点：∵yC?0,vC?0，∴?C??
2(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相)
(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有
??? ??0,vO??0，∴?O对于O点：∵yO2??0 对于A点：∵y?A??A,v?A?0，∴?A?? 23?????0,vC??0，∴?C对于C点：∵yC
2?对于B点：∵y?B?0,vB?0，∴?B? (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)
6-5 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s-1，波长为2m，原点处质元的振动曲线如题6-5图所示．
(1)写出波函数；
(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质元的振动曲线．
题6-5图(a)
解: (1)由题6-5(a)图知，A?0.1 m，且t?0时，y0?0,v0?0，∴?0?5?2.5Hz，则??2???5? ?2x取 y?Acos[?(t?)??0]，
u3?， 2又??u?则波动方程为
y?0.1cos[5?(t?x3??)]m 52(2) t?0时的波形如题6-5(b)图
第6章 机械波 习题
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题6-5图(b) 题6-5图(c) 将x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为
y?0.1cos(5?t?5??0.53??)?0.1cos(5?t??)m 0.52如题6-5(c)图所示．
6-6 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题6-6图所示，已知波速为10 m·s -1，波长为2m，求：
(1)波函数；
(2)P点的振动方程及振动曲线； (3)P点的坐标；
(4)P点回到平衡位置所需的最短时间．
题6-6图(a)
t?0时，y0?解: 由题6-6图(a)可知A?0.1m，
u?10m?s?1，则??A?,v0?0，∴?0?，由题知??2m， 2310?5Hz ?2∴ ??2???10?
?u(1)波动方程为
x?)?]m 103A?4? (2)由图知，t?0时，yP??,vP?0，∴?P? (P点的位相应落后于0点，
23y?01.cos[10?(t?故取负值)