发布时间 : 星期日 文章精选2019年中考数学最全真题分类汇编全集之专题19 几何探究型问题(第01期)(解析版)更新完毕开始阅读5697e520185f312b3169a45177232f60dccce7d0
∴O'F?3O'A?3（6-t）， ∴S?1（6-t）?3（6-t）?3， 2解得：t=6?2，或t=6?2（舍去）， ∴t=6?2；当S=53时，如图④所示：
O'A=6-t，D'A=6-t-2=4-t，
∴O'G?3（6-t），D'F?3（4-t），
1[3（6-t）?3（4-t）]×2=53， 25解得：t?，
25∴当3?S≤53时，t的取值范围为?t≤6?2．
2∴S?【名师点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键． 3．（2019?陕西）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使 ∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是
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否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
【解析】（1）如图记为点D所在的位置．
（2）如图，
∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点， 连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外， ∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大， 作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3， ∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2， 由对称性得AP2=8．
（3）可以，如图所示，连接BD，
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∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，
∴BD=100，∠BED=60°，
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D， 则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′， ∵E′A⊥BD，
∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A， ∴S△BDE?11·BD·EF?·BD·E′A=S△E′BD， 22=50003（m2）∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°， 所以符合要求的
BCDE的最大面积为50003m2．
【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
4．（2019?海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q． （1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时， ①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
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【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠ECQ=90°， ∵E是CD的中点， ∴DE=CE，
又∵∠DEP=∠CEQ， ∴△PDE≌△QCE．
（2）①∵PB=PQ， ∴∠PBQ=∠Q， ∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD， ∵△PDE≌△QCE， ∴PE=QE， ∵EF∥BQ， ∴PF=BF，
∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF， ∴∠APF=∠PAF， ∴∠PAF=∠EPD， ∴PE∥AF， ∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形； ②四边形AFEP不是菱形，理由如下： 设PD=x，则AP=1-x， 由（1）可得△PDE≌△QCE， ∴CQ=PD=x，
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