发布时间 : 星期五 文章2012全国初中数学竞赛试题及答案（安徽赛区）更新完毕开始阅读556266f6d5d8d15abe23482fb4daa58da0111c86
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、如果a??2?2，那么1?112?3?a的值为【 】
（A）?2 （B）2 （C）2 （D）22 11?2?12??2?1，3?a?1?2解：B∵∴，3?a3?a112?3?a?2?1因此原式=2
2、 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2?y2?2x?2y的整数点坐标（x，y）的个数为【 】 （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 解：B解法一：x2?y2?2x?2y化为?x?1???y?1??2
22因为x、y均为整数，因此?x?1???y?1??0或?x?1???y?1??1或?x?1???y?1??2
222222分别解得??x?1?x?0?x?2或??y?1y?1??y?1??x?1?x?1?x?0?x?2?x?0?x?2或?所以共有9个整点 ?????y?0y?2y?2y?2y?0y?0??????22解法二：x2?y2?2x?2y化为?x?1???y?1??2它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）
3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．?ADC?30?，AD = 3，BD = 5，则CD的长为【 】
（A）32 （B）4 （C）25 （D）4.5
解：图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． 由于AC = BC，CD = CE，
?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD??ACE．所以 △BCD≌△ACE， BD = AE．
又因为?ADC?30?，所以?ADE?90?．在Rt△ADE中，AE?5，AD?3， 于是DE=AE2?AD2?4，所以CD = DE = 4．
4、如果关于x的方程x2?px?q?0的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】 （p，q是正整数）（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
2p?p?4q2解：C∵p、q是正整数∴??p?4q?0，x1?x2??q?0∴正根为?3
2解得q?9?3p∴??p?1?p?1?p?1?p?1?p?1?p?2?p?2
，?，?，?，?，?，?
?q?1?q?2?q?3?q?4?q?5?q?1?q?2
111，，…，共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后231005、黑板上写有1，
删去a，b，并在黑板上写上数a?b?ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【 】 （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 解：C a?b?ab?(a?1)(b?1)?1∵计算结果与顺序无关
111(1?1)(?1)?1?2(2?1)(?1)?1?3(3?1)(?1)?1?4，…… ，，∴顺次计算得：
2341(99?1)(?1)?1?100
100二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、如果a，b，c是正数，且满足a?b?c?9，值为 ．
11110abc???，那么??的a?bb?cc?a9b?cc?aa?b11110cab??????10即两边乘以a?b?c?9得3?a?bb?cc?a9a?bb?cc?acab???7 a?bb?cc?a7、如图，⊙O的半径为20，A是⊙O上一点．以OA为对角线作矩形OBAC，且OC?12．延长BC，
解：7在
28与⊙O分别交于D，E两点，则CE?BD的值等于 5 ．
解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM?DE． 因为OB?202?122?16，所以OM?OB?OC16?1248??， BC205CM?OC2?OM2?3664，BM?． 55643628??． 555CE?BD?（EM?CM）?（DM?BM）?BM?CM?8、设n为整数，且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除，则所有n的个数为 . 解：1600n2?n?3n2?n?3?n2?3?n2?n4?5n2?9
因此5|n?9，所以n?1(mod5)，因此n?5k?1,或5k?22012?5?402??2所以共有2012-402=1600个数
44??????2（a，b，c）（x，y，z）9、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和（，，）均为三角形数，且a≤b≤c，则
111abca的取值范围是 . c解：
3?5a??1 2c?a?b?c?依题意得：?111，所以b?c?a，代入（2）得
????bca11111????，两边乘以a得 abcc?ac1?aac?aa?即?化简得a2?3ac?c2?0，两边除以c2得 c?accc?a2a3?5a3?53?5aa?a?另一方面：a≤b≤c，所以?1综合得????1 ???3?1?0所以
c2c22ccc??（a，b）10、已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立，则这样的n的个
数为 ．
22n?a?b??a?b??a?b? 解：依题意得
由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当1≤n≤100时，4的倍数共有25个 但是4?2?2，24?2?12?4?6，32?2?16?4?8，40?2?20?4?10，
48?2?24?4?12?6?8，56?2?28?4?14，60?2?30?6?10，64?2?32?4?16 72?2?36?4?18?6?12，80?2?40?4?20?8?10，88?2?44?4?22 96?2?48?4?24?6?16?8?12
这些不符合要求，因此这样的n有25-12=13个 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、如图，在平面直角坐标系xOy中，AO?8，AB?AC，sin?ABC?4．CD与y轴交于点E，5且S△COE?S△ADE．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．
解：因为sin∠ABC =
AO4?，AO?8，所以AB = 10． AB5由勾股定理，得BO?AB2?AO2?6．易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6．
?8)，B(6，0)，C(?6，0)．设点D的坐标为(m，n)．由S△COE?S△于是A(0， ADE，得S△CDB?S△AOB．