发布时间 : 星期二 文章真值原码反码补码详解和习题更新完毕开始阅读550e7af265ce0508763213b9
原码、反码和补码的概念
本节要求
掌握原码、反码、补码的概念
知识精讲
数值型数据的表示按小数点的处理可分为定点数和浮点数；按符号位有原码、反码和补码三种形式的机器数。
一．计算机中数据的表示方法
1、数的定点与浮点表示
在计算机内部，通常用两种方法来表示带小数点的数，即所谓的定点数和浮点数。
①定点数：是小数点在数中的位置是固定不变的数，数的最高位为符号位，小数点可在符号位之后，也可在数的末尾，小数点本身不需要表示出来，它是隐含的。 缺点：只有纯小数或整数才能用定点数表示；
②浮点数：小数点在数中的位置是浮动的、不固定的数。
一般浮点数既有整数部分又有小数部分，通常对于任何一个二进行制数Ｎ，总可以表示成： Ｎ＝±２P×S Ｎ、Ｐ、Ｓ均为二进制数，
Ｐ为Ｎ的阶码，一般为定点整数,常用补码表示，阶码指明小数点在数据中的位置，它决定浮点的表示范围
Ｓ为N的尾数，一般为定点小数,常用补码或原码表示，尾数部分给出了浮点数的有效数字位数，它决定 了浮点数的精度，且规格化浮点数0.5≤|S|<１； 0.1B=( /2 )D =( 2 )D 0.11B=(/2 + /4 )D =( 2 + 2 )D
0.111B=(/2 + /4 + /8 )D =( 2 + 2 + 2)D --------------------------- 在计算机中表示一个浮点数其结构为： 阶码部分 尾数部分 阶符 Ef 阶数 E1E2…Em 尾符 Sf 尾数 S1S2…Sn 1
1
1
-1
-2
-3
1
1
-1
-2
1
-1
假设用八个二进制位来表示一个浮点数，且阶码部分占4位，其中阶符占一位；尾数部分占4位，尾符也占一位。
若现有一个二进制数N＝（101100）2可表示为：２110×0.1011，则该数在机器内的表示形式为：
101100B= 10110B * (2)D 101100B= 1011B * (2)D 101100B= 101.1B * (2)D 101100B= 10.11B * (2)D 101100B= 1.011B * (2)D
101100B= 0.1011B * (2)D=0.1011B * (20 1 1 65
110
4321
)B 0 1 1 0 1 0 一个浮点形式的尾数S若满足0.5≤|S|＜1，且尾数的最高位数为1，无无效的0，则该浮点数称为规格化数；规格化数可以提高运算的精度。
S为原码表示，则 S１=1 规格化数 S为补码表示 N为正数，则S1 ＝１ N为负数，则S1＝０
二、原码、反码和补码
1、机器数与真值
机器数：在计算机中数据和符号全部数字化，最高位为符号位，且用0表示正、1表示负，那么把包括符号在内的一个二进制数我们称为机器数，机器数： 有原码、反码和补码三种表示方法。
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。 那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。 真值：用“+”、“—”号表示的二进制数。
机器数因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1， 1000 0001的真值 = -000 0001 = -1
2、原码、反码和补码的概念
1）概念
机器数： 有原码、反码和补码三种表示方法。
原码：是最简单的机器数表示法。其数符位用0表示正，1表示负，其余各位表示真值本身。 即用第一位表示符号， 其余位表示值，比如如果是8位二进制： 1的原码是00000001， —1的原码是10000001。
反码：正数的反码同原码， 负数的反码为除符号位外，其它各位按位取反。
正数的反码是其本身， 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反 1的反码是00000001， —1的反码是11111110。
补码：正数的补码同原码，负数的补码为反码加1。
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1 1的补码是00000001， —1的补码是11111110。 2）转换方法
当真值为正数时，原码、反码、补码 3种机器数的最高位均为0 当真值为负数时，原码、反码、补码 3种机器数的最高位均为1
机器数的最高位为符号位，其它位称为数值位。
当真值为正数时，原码=反码=补码；
当真值为负数时，三种机器数的符号位相同，均为1，原码的数值位保持“原”样，反码的数值位是原码数值位的“按位取反”，补码的数值位是原码的数值位的“按位取反”后再加1，简称“取反加1”。
当真值为负数时：补码 = 反码+1
当真值为负数时：原码 = [补码]取补 补码 = [原码]取补 [-x]补=模- [x]补
[x]补=模- [-x]补 比如8bit，模= 2=1_0000_0000
8
例如：（1）假设码长为8位，写出下列数的原码、反码和补码。
根据本题可得到结论：0的原码、反码各有两种表示方法，而补码是唯一的全0表示。 真值 原码 反码 补码 原码 反码 补码 +0 00000000 00000000 00000000 二进制定点整数 1111111101111111 1000000001111111 1000000001111111 ～～～-0 10000000 11111111 00000000 +1 00000001 00000001 00000001 -1 10000001 11111110 11111111 +127 01111111 01111111 01111111 -127 11111111 10000000 10000001 -128 溢出 溢出 10000000 （2）假设码长为8位，写出原码、反码和补码所能表示定点整数和定点小数的范围。 十进制定点整数 -127～+127 -127～+127 -128～+127 (-128)代替了(-0) n位可表示的个数 二进制定点小数 1.11111110.1111111 1.11111110.1111111 1.11111110.1111111 ～～～十进制定点小数 -127/128+127/128 -127/128+127/128 -1～-127/128 ～～2-1个 2n-1个 2n个 n由此可见：n位的二进制数用原码表示，则可表示的数的个数为2n-1个；n位的二进制数用反码表示，则可表示的数的个数为2n－1个；n位的二进制数用补码表示，则可表示的数的个数为２n个。
比如：补码中用(-128)代替了(-0)
编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是： [-231 ～ 231 -1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值 -2G ～ 2G -1
3、算术运算
计算机中的算术运算一般可采用补码进行，用补码表示的两个操作数进行算术运算，符号位可直接参加运算，结果仍为补码。 ①定点补码加法运算 运算规则：[x+y]补＝[x]取补＋[y]补 ②定点补码减法运算
运算规则：[x－y]补＝[x+(-y)]补＝[x]补＋[－y]补
[－y]补的求法是将[y]补的各位（包括符号位）全取反，最末位加１。 即将[y]补连同符号位一起取反加1便可得到[－y]补。 [-x]补=模- [x]补
[x]补=模- [-x]补 比如8bit，模= 2 如：
[y]补=10001010，则[－y]补=01110110； [-1]补=2- [1]补=1_0000_0000 - 0000_0001 = 1111_1111 [y]补=0100，则[－y]补=1100； [-(-1)]补=2- [-1]补=1_0000_0000 - 1111_1111 = 0000_0001 注意：在进行运算时有时会发生溢出。 ③定点补码运算的溢出处理
采用补码运算时若结果的数值超出了补码所能表示的范围，则此种情况称为溢出。 若计算结果比能表示的最大数还大则称为上溢，上溢时一般作溢出中断处理； 若计算结果比能表示的最小数还小则称为下溢，下溢时一般作机器零处理。 下面介绍用双符号判断溢出方法：
8 8
8
引入两个符号位Cs+1、Cs
Cs+1用来表示两个符号位向更高位进位时的状态，有进位时Cs+1=1，无进位时Cs+1=0； Cs用来表示两数值的最高位向符号位进位时的状态，有进位时Cs=1，无进位时Cs=0；
当Cs+1Cs=00或11时，无溢出；当Cs+1Cs=01或10时，有溢出，当双符号位为01时正溢出，当双符号位为10时负溢出；
例如：[x]补=10011100，[y] 补=10011000，则[x+y]补= 。溢出，因为Cs+1Cs=10。故溢出逻辑表达式为V＝Cs+1⊕Cs
④无符号数的运算
无符号数的运算实际上是指参加运算的操作数X、Y均为正数，且整个字长全部用于表示数值部分。 当两个无符号数相加时，其值在字长表示的范围内，其结果为正数。 当两个无符号数相减时，其值的符号位取决于两数绝对值的大小。 另外，地址在计算机中用无符号数表示。
四原码, 反码, 补码再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢? 将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 我们可以:
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4 3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4. 所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉. 首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
“模”是指一个计量系统的计数范围
例如：时钟的计量范围是0～11，模=12。 表示n位的计算机计量范围是0～2-1，模=2
n
n
“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。
比如：时钟（模=12）中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替
对时钟（模=12）而言，8和4互为补数。
以12模的系统中，11和1；10和2；9和3；7和5；6和6都互为补数。共同的特点是两者相加等于模 对于计算机，其概念和方法完全一样。