发布时间 : 星期日 文章奥数 - 六年级竞赛 - 几何直线形面积 - 燕尾定理 教师版word更新完毕开始阅读541d91caf18583d048645900
1所以S△ABM?S△ACM?S△BCN?S△ABC
311由于S△AEM?S△AMC?S△ABMS，所以BM:ME?2:1
22在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CEN?BF:CF?1:1S△CEN:S△CBN?ME:MB?1:2 设S△CEN?1(份)，则S△BEN?1(份)，S△BCN?2(份)，S△BCE?4(份)，
1111所以S△BCN?S△BCE?S△ABC,S△BNE?S△BCE?S△ABC，因为BM:ME?2:1,F为BC中点,
244822111111所以S△BMN?S△BNE??S△ABC?S△ABC,S△BFN?S△BNC???S△ABC,
33812224855?11?S△ABC??15?3.125(平方厘米) 所以S阴影????S△ABC?1282424??
【例 6】 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，
AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
AGMFCBDEAGNMBDENFC
【分析】 连接CM、CN．
根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以
1S△ABM?S△ABC；
5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以
AN:NF?4:3，那么
S△ANG151542?2?S△ABC． ???，所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?77428S△AFC24?37??15根据题意，有S△ABC?S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)
528
［拓展］ 如右图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，
CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?
5
AAGGPQFBBFNDECMDEC
［分析］ 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，
CQ，CM，CN．
根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?同理可得，S△ABQ?同理，S△BPM?1 5211213121,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG???． 72375353721311239，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????
3357042321426321642
【例 7】 已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲:S乙?1:8，a与b是两个正方形的边长，求a:b??
Aa甲DOCGAa甲DMOCGBB乙EHbFENH乙bF
【分析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题
目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解
连接EO、AF，
根据燕尾定理：S△AOE:S△AOF?a:b，S△AOF:S△EOF?a:b 所以 S△AOE:S△EOF?a2:b2，作OM⊥AE、ON⊥EF，
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∵AE?EF
∴OM:ON?a2:b2 ∴S甲:S乙?a3:b3?1:8 ∴a:b?1:2
求面积方法的综合运用
【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，BE?EC，CF?2FD．求阴影面积与空白面积的比．
AHFGBECD11【分析】 方法一：因为BE?EC，CF?2FD，所以S△ABE?S四边形ABCD，S△ADF?S四边形ABCD．
46因为AD?2BE，所以AG?2GE，
1121所以S△BGE?S△ABE?S四边形ABCD，S△ABG?S△ABE?S四边形ABCD．
3123611同理可得，S△ADH?S四边形ABCD，S△DHF?S四边形ABCD．
8241111112因为S△BCD?S四边形ABCD，所以空白部分的面积?(????)S四边形ABCD?S四边形ABCD，
2212246831所以阴影部分的面积是S四边形ABCD．
312:?1:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:2． 33AHGBEOCDF
方法二：连接CG、CH、AC,AC交BD于O，有AO?OC
在△ABC中，根据燕尾定理可以得到S△ABG:S△ACG?BE:CE?1:1,S△ABG:S△CBG?AO:OC?1:1,
111所以S△BCG?S△ACG?S△ABC?S?ABCD,所以S△BGE?S△AGO?S?ABCD,
36121111同理在△ACD中，根据燕尾定理可以得到S△AHC?S△ACD?S?ABCD,S△DCH?S△ACD?S?ABCD,
24481111所以S△AHO?S△AHC?S?ABCD,S△DFH?S△DCH?S?ABCD
28324
7
11111所以S阴影?S△BEG?S△AGO?S△AHO?S△DHF?(???)S?ABCD?S?ABCD
1212824312所以阴影面积与空白面积的比:?1:2
33
【例 9】 如图，在一个梯形内有两个面积分别为10与12的三角形，已知梯形的上底长是下底长的
么余下的阴影部分的面积是______．
102，那312
【分析】 设上底为2a,则下底为3a,梯形的高为
2?102?1218??，梯形的面积为 2a3aa118 ?(2a?3a)??45,
2a所以阴影部分面积为45?10?12?23
1.
如图所示，在△ABC中，BE:EC?3:1，D是AE的中点，那么AF:FC? ．
AFAFDDBECBEC
【分析】 连接CD．
由于S△ABD:S△BED?1:1，S△BED:S△BCD?3:4，所以S△ABD:S△BCD?3:4，
根据燕尾定理，AF:FC?S△ABD:S△BCD?3:4． 2.
三角形ABC中，C是直角，已知AC?2，CD?2，CB?3，AM?BM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少？
AMNCDBAMNCDB
［分析］ 连接BN．
△ABC的面积为3?2?2?3 8 ｜五年级 第四讲 提高班｜