发布时间 : 星期二 文章弹簧与物块的分离问题 - -教师版更新完毕开始阅读5342ff4ba300a6c30c229f87
“弹簧与物块的分离”模型
模型建构：
两个物体与弹簧组成的系统。两个物体在运动到某一位置时就会分开，那么这个位置就是物体间的分离点。
【模型】弹簧与物块的分离
【特点】①都要建立动力学方程；②分离条件是：相互作用的弹力FN=0 这个问题可以分成两类“模型”：
【模型1】水平面上“弹簧与木块的分离”模型 如图1，B与弹簧相连，而A、B是紧靠在一起的
A B 两个物体，当弹簧原来处于压缩状态，如果地面是光滑
的，则物体A、B在向左运动的过程中A、B何时分离。 O 图1 〖解析〗物体应在弹簧的原长处分离。由于水平面光滑，当弹簧从压缩状态回到自然伸长位置时，一直加
速运动。当它刚刚回到平衡位置时，物块B受的弹力为阻力，开始减速。而物块A不受外力做匀速直线运动。vA≥vB
此时A、B分离。
【体验1】但是如果物体与地面之间是不光滑的，题目条件如模型1。试讨论分离条件。 〖解析〗假设A、B在某一位置分离，此时刻两物体的相互作用力为零FAB=0 同时，两物体的加速度相同。
则aA??Ag；aB??Bg?所以x?讨论：
（1）如果?A等于?B或均为零；x等于零。两物体在O点分离； （2）如果?A大于?B，x大于零，两物体在O点的右侧分离； （3）如果?A小于?B，x大于零，两物体的分离点在O点的左侧。
〖点评〗两物体分离的条件是：相互间的弹力FN=0等于零；两物体瞬时加速度相等。 【模型2】竖直面上“弹簧与木块的分离”模型
m 如图2所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，
M 用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，重物何时与木板分离？
〖解析〗当物体分离时，物体间的弹力FN=0
物块只受重力，物块的加速度为g，木板的加速度也为g 弹簧的状态应为原长，即弹簧恢复原长时，二者分离
图2 此时物块与薄板有共同的加速度。
从动力学的角度可以得到，竖直方向的弹簧类问题两物体的分离点是在弹簧的原长处。
kx mB(?A??B)g
k模型典案：
1
【典案1】A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图3所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功。
〖解析〗（1）设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x 有kx=（mA+mB）g，
所以x=（mA+mB）g/k ① 对A施加向上的F力，分析A、B受力如图4 图3
图4
对A：F+FN-mAg=mAa ② 对B：kx′-FN-mBg=mBa′ ③ 可知，当FN≠0时，AB有共同加速度a=a′，
由②式知欲使A匀加速运动，随FN减小F增大， 当FN=0时，F取得了最大值Fm，即 Fm=mA（g+a）=4.41 N
（2）又当FN=0时，A、B开始分离，由③式知，此时弹簧压缩量kx′=mB（a+g） 即x′=mB（a+g）/k ④ AB共同速度 v2=2a（x-x′） ⑤ 由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J
设F做功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理 WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=
1
（mA+mB）v2⑥ 2 联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248 J 可知，WF=9.64×10-2 J
〖点评〗此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力FN=0时 ，恰好分离。
【案例2】如图5所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m的重物，先由托盘托住m，使弹簧比自然长度缩短L，然后由静止开始以加速度a匀加速向下运动。已知a m m 用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力 a在这两个力的作用下，当重物的加速度也为a时，重物与托盘恰好M分离。 图5 由于a 2 然后由牛顿第二定律和运动学公式求解： 根据牛顿第二定律得：mg?kx?ma ① 由①得：x?m?g?a? k12at 2② 由运动学公式有：L?x?联立①②式有： kL?m?g?a?12?at k2 ③ 解得：x?2??kL?m?g?a???ka〖点评〗本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条 件，同时还要能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索：若将此题条件改为ag，情况又如何呢？ 【典例3】如图6所示，一劲度系数为k=800 N / m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为 m=12 kg的物体A、和B，物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上。现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4 s物体B刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10 m / s2，求： （1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。 （2）此过程中外力F所做的功。 [解析]（1）A原静止时，设弹簧压缩x1， 由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg------------① 图6 物体A向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则所需外力F最小，设为F1 由牛顿第二定律：F1+kx1—mg=ma-----------② 当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则所需外力F最大，设为F2 对B：kx2=mg------------③ 对A：F2-kx2-mg=ma -----------④ 由位移公式对A有：x1?x2?又t=0.4s------⑥ 由①②③④⑤⑥可得： 12at ----------⑤ 2a=3.75m/s F1=45N F2=285N （2）0.4 s末的速度：v=at=3.75×0.4 m / s=1.5 m / s 2 对A全程由动能定理得：WF－mg (x1+x2)= mv2 3 解得：WF=49.5 J 也可用能量守恒求解： 在力作用的0.4s内，在初末状态有x1=x2，所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即： 【典案4】如图7质量为mA=10kg的物块A与质量为mB=2kg的物块放在倾角为30光滑斜面上，处于静止状态，轻弹簧一端与物块B连接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数为K=400N/m，现给物块A施加一个平行与斜面向上的力F，使物块A沿斜面向上做匀加速直线运动，已知力F在前0.2s内是变力，0.2s后为恒力，求力F的最大值和最小值。（g=10m/s2） 【解析】原系统处于静止状态，则M与m受合外力为零,设此时弹簧压缩量为xo即： (m+M)gsin300=kx0 则： x0=0.15m 图7 由静止开始向上匀加速运动，m与M在0～0.2S内整体向上有共同的加速度a．设经时间为t，则在t内m与M上升位移为S： S=① 在0～0.2S内以m与M为整体：F+K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a ② 当t=0.2s时 s= 0 12 at21a×(0.2)2=0.02a ③ 2由①、②、③得： F+(0.15-O.02a)×400-60=(m+M)a ④ 分析可知在0.2s后F为恒力，此状况只有m与M分离可存在 在ｔ＝0.2ｓ后，对ｍ有：Ｆ－ｍｇsin300＝ｍａ，（此时力Ｆ也为ｔ＝0.2ｓ瞬间的力） Ｆ＝（ｇ/2＋ａ）ｍ ⑤ ２ 由④⑤得：ａ＝5ｍ／ｓ． 分析可知Ｆ最小力应是在ｔ＝０时， 即：Ｆmin=(m+M)a=(2+10) ×5=60N 在t=0.2s以后力有最大值 即： Fmax=(g/2+a) ×m=(10/2+5) ×10=100N 【典案5】质量为M=6Kg的小车放在光滑的水平面上，物块A和B的质量均为m=2Kg且均放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图8所示，物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功270J。撤去外力，当A和B分开后，在A达到小车底板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出， 求：（1）B与A分离时，小车的速度多大？ （2）从撤去外力至B与A分离时，A对B做了多少功？ 图8 （3）假设弹簧伸到最长时B已离开小车。A仍在车上，则此时弹簧的弹性势能是多大？ 〖解析〗（１）分析可知A、B分离时应在弹簧恢复为原长时，此时AB有共同速度为 4