发布时间 : 星期五 文章2014大一高等数学期末复习更新完毕开始阅读5256a458eefdc8d376ee32e4
《高等数学》期末考试知识点
一、 函数与极限
1．中学函数的复习：基本初等函数的性质 例：求下列函数的定义域：(1)f(x)?ln例
：
判
断
下
列
函
x2?1;(2)f(x)?1?sinx 。 2数的奇偶性：
1(1)f(x)?sin(x3);(2)f(x)?ln(x?1?x);(3)f(x)?(xsin)2。
x2．数列极限与函数极限的计算 （1）四则运算法则 设limf?A,limg?B，则lim(f?g)?A?B；limfg?AB；limfA?(B?0)。 gB例：求下列极限
2n?11?2??nnx2?1(1)lim;(2)lim(?);;(3)lim2;n??n?1n??x?1x?3x?2n22?x?21?4x3?2x?1?1(4)lim;(5)lim??2;?;(6)limx?2x??1x?1x??6x5?2x?1x2?4x?1??6x?2x?10;x??3x7?x6?13x3?2x?1(8)lim2;(9)lim(x?1?x)x??x?2x?1x??(7)lim75
（2）两个重要极限及无穷小与有界量的乘积
sinxa)第一个重要极限lim?1。 x?0x11??b)第二个重要极限lim?1?x?x?e。 ?1?x??e;limn??x?0??xc)无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。
例：求下列极限
12?3???(1)lim?1??;(2)lim?1??;(3)lim?1?2x?x;n??x??x?0n?x???nxxsin3x?x?1?(4)lim?;(5)lim;?x??x?1x?0x??11(7)limxsin;(8)limxsin;x??x?0xx(6)limsin3x;x?0tan7x11sinx;(10)limsinxx??xx?0x
(9)lim （3）利用等价无穷小求极限
求极限表达式中的无穷小因子可无条件用其等价无穷小代换，和与差的项不能无条件直接代换。当x?0时，有
sixnx,xta?xnxe,?x1x,?lnx?(??1x)x2?,。(x 12)x1,1例：求下列极限
(1)limtan7x1?cos4xtanx?sinx;(2)lim(3)lim;23x?0sin2xx?0x?02xx31?2x?1x?0sinx1?cosx1?cosx(5)lim;(6)lim2x?0ln(1?x2)x?0ex?1(4)lim
3．函数的连续性与间断点
f(x)在点x0连续的三个条件：1）（等价于xlim?x?0f(x)在x0有定义；2)limf(x)存在
x?x0x?x0；3）limf(x)?f(x0)。 f(x)与lim?f(x)存在且相等）
x?x0不满足以上三个条件之一的点就称为函数的间断点：在间断点如果
左、右极限都存在，则称为第一类间断点。除第一类间断点外的其他间断点均称为第二类间断点。 例：考察函数
?1?x,?f(x)??x?1,??x2?1x?1,x?1 在点x?1处的连续性。
x?0,x?0例：当a为何值时，函数例：求函数
?sin2x,?f(x)??3x??a?sinx, 在点x?0处的连续性。
x2?1f(x)?2 的间断点，并判断间断点的类型。
x?3x?2附：关于基本定义的判断题：判断下列说法是否正确 1. 有界数列一定收敛；（错）
2. 函数在点x0处有极限，则函数在x0点极必连续；(错) 3. x?0时,x与sinx是等价无穷小量；（对） 4. 若f(x0?0)?f(x0?0)，则f(x)必在x0点连续；（错） 5. 设f(x)在点x0处连续，则f(x0?0)?f(x0?0) ；（对） 6. 函数 7.
1?2?xsin,x?0f(x)??x 在x?0点连续；（对）
?x?0?0,x2?2x?1x?1是函数y?的间断点；（对）
8. f(x)?sinx是一个无穷小量；（错）
9. 当x?0时，x与ln(1?x2)是等价的无穷小量；（错）
f(x) 存在，则f(x)在x0处有定义；10. 若 xlim（错） ?x011. 若x与y是同一过程下两个无穷大量，则x?y在该过程下是无穷
小量；（错）
12. y??x2?2是一个复合函数；（错）
13. 函数y?xsinx在x?0点连续；（错） 14. x?0是函数y?ln(x?2)的间断点；（对） x115. 以零为极限的变量是无穷小量；（对）
二、 导数与微分
1．导数的定义及导数的几何意义
f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim 。 x?x0?xx?x0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim 左导数：f??(x0)??lim。 ??xx?x0x?0?x?x0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim 右导数f??(x0)??lim。 ??xx?x0x?0?x?x0 f?(x0)??limx?0 在一点处可导的充分必要条件是在此点的左右导数存在且相等。 导数的几何意义：一点处的导数是曲线在该点处的切线斜率。 例：已知f?(a)?2，求极限limh?0例：判断函数
f(a)?f(a?h)f(a?h)?f(a?h)lim；。 h?0hh?x3,x?0,在点x?0处的可导性。 f(x)??5x?0?x例：求函数f(x)?x2?1在点(0,1)处的切线方程和法线方程。
2．导数的计算
（1）导数公式与四则运算法则
基本初等函数的导数可当作公式直接用。
ff?g?fg???????。 (f?g)?f?g；(fg)?fg?fg；()?gg2例：求下列函数的导数：
(1)f(x)?ex(sinx?cosx);(2)f(x)?lnxarctanx;(3)f(x)?x?1x。
dydydu?dxdudx（2）复合函数的导数 y?f[?(x)]是由
y?f(u)和
u??(x)复合而成，则
或
{f[?(x)]}??f?[?(x)]???(x)。
例：求下列函数的导数：
(1)f(x)?esinx;(2)f(x)?cosx3;(3)f(x)?lnsinx2
（3）隐函数的导数及对数求导法 a)方程F(x,y)?0两端同时对x求导。
b)遇到含有y的表达式，将y看成中间变量，用复合函数求导法求导。 对幂指函数型或同时含有指数、乘积与商运算的函数利用取对数转化为隐函数，有时求导较为方便。
例：求由下列方程确定的隐函数y?y(x) 的导数： (1)x2?y2?xy?1;(2)y?x?lny;(3)ey?xy?e4x?y3?0。
例：求由方程e2y?xy?e4x?0确定的隐函数y?y(x)在点(0,0)处的切线方程。
例：求下列函数的导数(1)y?x2x;(2)y?x1?x1?x。
3．微分及其应用
（1）微分的定义及计算公式：dy?f?(x)dx
例：求下列函数的微分dy：(1)y?sinx;(2)y?ln(1x?x);(3)y?ex?x3。 附：关于基本定义的判断题：判断下列说法是否正确 1. 若f(x)在x0处可导，则 xlimf(x) 一定存在；(对) ?x02. 函数 f(x)?x 在其定义域内可导；(错)
3. 若 f(x)在 [a,b]上连续，则 f(x) 在 (a,b) 内一定可导；(错) 4. 函数
?2x2,x?1?f(x)??x在x?1点可导；(错)
ln,0?x?1??45. 若f(x)?xn, 则f(n)(0)?n! ；(对)
6. d(ax2?b)?2ax；(错)
7. 若 f(x)在x0点不可导，则f(x)在x0不连续；(错) 三、 微分中值定理及应用 1．微分中值定理 罗尔定理：若f(x)函数：1）在[,]2）在(,)3）f(a)?f(b)，ab上连续；ab可导；则至少存在一点??(a,b)使f?(?)?0。
拉格朗日定理：若f(x)函数：1）在[a,b]上连续；2）在(a,b)可导，则至少存在一点??(a,b)使f?(?)?f(b)?f(a)。 b?a以上两个定理其实说明了满足条件的曲线上至少存在一点处的切线
平行于连接曲线两个端点的弦。
例：验证下列函数在所给区间上是否满足拉格朗日定理的条件？如满足，求出定理中的?。 (1)f(x)?x3[0,a];(2)f(x)?lnx[1,2]。 2．微分中值定理的应用之一：洛必达法则 1）
f(x)lim?x?ag(x)00?型：设
?f(x)lim?A。 x?ag(x)lifmx?(x?a?x)gl?ixm，limax?af?(x)?A(g?(x)?0)g?(x)，则