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电磁感应中电路的题型变化与解题规律
电磁感应中电路问题，既与电路的分析计算密切相关，又与电容器、力的平衡、功能关系、牛顿第二定律等知识有机结合；既可考查学生形象思维和抽象思维能力、分析推理和综合能力，又可考查学生运用数学知识的能力，是综全性很强的一类题型。
一、l?R型电路
例1 相距为L的足够长光滑平行金属导轨水平放置，处于磁感应强度为B，方向竖直向上的匀强磁场中。导轨一端连接一阻值为R的电阻，导轨本身的电阻不计，一质量为m，电阻为r的金属棒ab横跨在导轨上，如图1所示。现对金属棒施一恒力F，使其从静止开始运动。求：
（1）运动中金属棒的最大加速度和最大速度分别为多大？ （2）计算下列两个状态下电阻R上消耗电功率的大小： ①金属棒的加速度为最大加速度的一半时； ②金属棒的速度为最大速度的四分之一时。
R b F 图1 a B 分析与解：本题设置了这样一种问题情境：提供动生电势的导体受一恒定外力作用，这样的“电源”与电阻R在不同的电路条件下就会产生不同的效应。
（1）显见，放在导轨上的棒与电阻R构成一个回路，初时棒的加速度最大，所以金属棒最大加速度am?F m随着速度增大，棒上的电动势增大，通过回路的电流增大，这使棒受到的与力F反向的安培力F安也增大，从而使合力减小，棒在开始做的是加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减为零、棒达到收尾速度时，回路里的感应电流达到一个恒定值。由上分析可知，棒最后的运动状态为匀速直线运动。 由楞次定律得E?BLv，由闭合电路欧姆定律得 I?金属棒所受安培力F安?BIL
当金属棒由于切割磁感线而受安培力作用，安培力F安与所受恒力F相等时速度达到最大，F?F安 由以上四式可解得：vm?E R?rF(R?r) 22BLF 2（2）①当金属棒加速度为最大加速度的一半时，安培力等于恒定拉力的一半，即：BI1L?此时电阻R上消耗的电功率为：P1?I1R
2F2R由以上两式解得：P 1?224BL②当金属棒的速度为最大速度的四分之一时：E2?BL由闭合电路欧姆定律得I2?vm 4E2 R?r2此时电阻R上消耗的电功率为：P1?I2R
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F2R由以上三式解得：P2?
16B2L2小结：分析该类题目，首先关键是能对研究对象进行正确的受力分析，根据牛顿运动定律对物体的运动状态进行分析，搞清物体的运动类型对该类题目是一个解题的关键所在。 二、l?C型电路
例2 如图2.1所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属导轨的上端，接有一个电容为C的电容器，框架上有一质量为m、长为l的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为
h，磁感强度为B的匀强磁场与框架平面垂直．开始时，电容器不带电．将金属棒由静止释放，问：棒落
地时的速度为多大？（整个电路电阻不计）
图 2.1 分析与解：该题设置的是提供动生电动势的导体受恒定外力（重力）作用，这样的“电源”与电容器构成一个回路，在不同的条件下产生了不同的效应。在分析本题时关键要抓几个要点：①电路中有无电流？②金属棒受不受安培力作用？③这个电路是纯电阻电路吗？能否应用欧姆定律求电流强度？画出本题等效电路图（如图2.2）。
分析确定金属棒受的合外力怎样变化时，要考虑安培力的变化情况，所需确定的是瞬时电流，还是平均电流？ 电容器极板上增加的电量与极板间的电压有何关系？
因为Q?CUC,所以?Q?C?UC 电容两极板间的电压又根据电路怎样确定？
因电路无电阻，故电源路端电压U??感?Blv，结合?Q?C?UC得出
I??Q?C?U?CBl?v?CBla 错误！未找到引用源。
?t?t?t注意：本题中电流强度的确定是关键，是本题的难点，突破了这一难点，以后的问题即可迎刃而解。
用牛顿第二定律求解加速度a，以便能进一步弄清金属棒的运动性质。
mg?BIl?ma ②
从③式知a＝恒量，所以金属棒做匀加速运动。
v1?2ah?2mgh22 m?CBl如果进一步分析金属棒下落中的能量转化，金属棒下落，重力势能减少，转化为什么能？机械能守恒吗？
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克服安培力做功，使金属棒的机械能减少，转化为电能，储存在电容器里，故金属棒的机械能不守恒。金属棒下落中减少的重力势能一部分转化为电能，还有一部分转化为动能。只要电容器不被击穿，这种充电、储能过程就持续进行。 三、l?L型电路
例题 3 一个磁感应强度为B的匀强磁场，垂直于一轨距为l的导轨平面，轨道平面与水平面有?的倾角。一根无摩擦导体棒质量为m，横跨在两根金属导轨上，如图3所示。当从静止释放导体后，求棒的稳定状态。
分析与解：该题设计的情境是导体棒与电感线圈构成回路，显见，放到导轨上的棒总受到一个沿导轨向下的重力的分力F?mgsin?，所以导体棒以加速度
gsin?开始运动后，随着速度增大，导体棒产生的动生电动势增大，增大的电流
通过电感线圈，使线圈两端的电压随动生电动势而增大。 电压与电流的关系 Blv?L图3
?IBlv?tBl 所以?I???x ?tLLBlx，棒的运动方程L由于初始时I?0，x?0，可知棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即I?l2B2Blx 为mgsin??Bl?x?ma，得到ma?mgsin??LL若将x坐标原点取在棒的平衡位置，即棒下滑x0?mgLsin?,
l2B2l2B2mgLsin?l2B2(22?x)??x。 则ma??F?mgsin??LLlB这说明棒所受的合力为与棒对平衡位置的位移成正比而方向相反的线性力，所以棒做简谐振动，运动
mgLsin?l2B2LmmgLsin?cos(t??) 周期T?2?22，振幅为A?，振动方程x?Lml2B2lBl2B2小结：例2、例3以分析电路中的电流、电压等电路状态为突破口，特别是它不符合欧姆定律这一点应引起重视．解决此类问题都离不开力学、电学、电磁感应、安培力等基本概念、基本规律、基本方法的运用．同学们平时在自己独立做题中，仍应在“知（基本知识）、法（基本方法）、路（基本思路）、审（认真审题）”四个字上下功夫，努力提高自己的分析能力、推理能力． 四、l?l型电路
例题 4 如图4所示，在与匀强磁场区域B垂直的水平面上有两根足够长的的平行导轨，在它们上面放着两根平行导体棒，每根长度均为l、质量均为m、电阻均为R，其余部分电阻不计。导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，开始时左棒静止，右棒获得向右的初速度v0。试求（1）右导体棒运动速度v随时间t的变化（2）通过两棒的电量（3）两棒间距离增量的上限。
分析与解：本题中设计的情境是两棒通过导轨构成回路，两棒产生的动生电动势
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图4
互为反电动势，右棒E1?Blv1，左棒E2?Blv2，电路中的电流I?lB(v1?v2)
2R右棒受安培力的作用而减速运动，左棒受安培力的作用从静止开始加速，由于系统不受外力，总动量守恒，过两棒速度有mv0?mv1?mv2，当v1?v2?v0时，两棒均做匀速运动。对右棒用极限的方法取速度从2v0变为v1的时间t内第n个
lB(vn1?vn2)?vt元过程，右棒的动力学方程为lB?mn，即
2R?tnvn?vn?12vn?1?v0l2B2?t(2vn?v0)?(2vn?1?v0)l2B2tl2B2t???1?，，整理得
(2vn?v0)2Rm(2vn?v0)Rmn2vn?v0RmnlBlim2vn?1?v0x2v1?v0l2B2tx?Rm()?(1?)可得?e取两边m次方的极限
x??2vn?v0x??v0Rmnlim22?t?tvv右棒速度公式v1?0(1?eRmn)，由两棒速度关系易得左棒速度随时间变化关系v2?0(1?eRm)
22t2B2l2B2两棒电阻串联，通过每棒的感应电量相等，任取其中一棒例如左棒，由动量定理lB设两棒间距离的最大增量为d，则由q?It?
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