发布时间 : 星期六 文章第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案更新完毕开始阅读51c18ee6cec789eb172ded630b1c59eef9c79adf
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准
一、参考解答:
解法一
取直角坐标系Oxy,原点O位于椭圆的中心,则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
x2y2??1 a2b2
(1)
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴,太阳S位于椭圆的一个焦点处,如图1所示.
以Te表示地球绕太阳运动的周期,则Te?1.00年;以ae表示地球到太阳的距离(认为地球绕太阳作圆周运动),则ae?1.00AU,根据开普勒第三定律,有
a3T2 3?2 (2) y
aeTe设c为椭圆中心到焦点的距离,由几何关系得
P c?a?r0 (3)
abOrP S ?P P0xb?a2?c2 (4) 由图1可知,P点的坐标
图1
x?c?rPcos?P (5) y?rPsin?P (6) 把(5)、(6)式代入(1)式化简得
?a(7) 根据求根公式可得
22sin2?P?b2cos2?P?rP?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0
b2?a?ccos?P?rP?22asin?P?b2cos2?P(8)
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
rP?0.896AU (9)
可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=?(10)
Gmms 2a式中m为彗星的质量.以vP表示彗星在P点时速度的大小,根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms?mvP??????2r2a?P?(11)
得
vP?Gms?(12)
代入有关数据得
21?rPa
vP=4.39?10m?s (13)
设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2),根据开普勒第二定律
4?1rPvPsin????P??2?(14)
其中?为面积速度,并有
yP ??πab (15) TabOrP S 由(9)、(13)、(14)、(15)式并代入有关数据可得
o?P ?P0x ??127 (16)
图2 解法二
取极坐标,极点位于太阳S所在的焦点处,由S引向近日点的射线为极轴,极角为?,取逆时针为正向,用r、?表示彗星的椭圆轨道方程为
r?p1?ecos?
(1)
其中,e为椭圆偏心率,p是过焦点的半正焦弦,若椭圆的半长轴为a,根据解析几何可知
p?a?1?e2?(2)
将(2)式代入(1)式可得
a1?e2r?1?ecos???
(3)
以Te表示地球绕太阳运动的周期,则Te?1.00年;以ae表示地球到太阳的距离(认为地球绕太阳作圆周运动),则ae?1.00AU,根据开普勒第三定律,有
a3T2?23aeTe(4)
在近日点??0,由(3)式可得
e?1?r0a
(5)
将?P、a、e的数据代入(3)式即得
rP?0.895AU(6)
可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 E=?(7)
式中m为彗星的质量.以vP表示彗星在P点时速度的大小,根据机械能守恒定律有
Gmms 2aGmms12?Gmms?mvP??????2r2a?P?(8)
可得
vP?Gms?(9)
代入有关数据得
21?rPa
vP=4.39?10m?s (10)
设P点速度方向与极轴的夹角为?,彗星在近日点的速度为v0,再根据角动量守恒定律,有
4?1rPvPsin????P??r0v0(11)
根据(8)式,同理可得
v0?Gms?(12) 由(6)、(10)、(11)、(12)式并代入其它有关数据
21? r0a ??127 (13) 评分标准:
本题20分 解法一
(2)式3分,(8)式4分,(9)式2分,(11)式3分,(13) 式2分,(14)式3分,(15)式1分,(16)式2分.
解法二
(3)式2分,(4)式3分,(5)式2分,(6)式2分,(8)式3分,(10) 式2分,(11)式3分,(12)式1分,(13)式2分.
二、参考解答:
1.建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图:
of1为地面作用于杆AB的摩擦力,N1为地面对杆AB的支持力,f2、N2为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力,N3、N4分别为墙对杆AB和CD的作用力,mg为重力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象,系统平衡时, 由平衡条件有
N4?N3?f1?0 (1) N1?2mg?0 (2)
以及对A点的力矩
y D N4 ??B N3 E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x ??O 11??mglsin??mg?lsin??lsin???N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 22??即