发布时间 : 星期三 文章[金版学案]2015届高考数学总复习 第五章 第一节数列的概念与简单表示法课时精练 理更新完毕开始阅读50804b2227d3240c8547ef38
第五章 数列
第一节 数列的概念与简单表示法
1.设数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
答案:B
2.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,…,则x,y,z的值依次为( ) A.13,39,123 B.42,41,123 C.24,23,123 D.28,27,123
解析:观察各项可以发现:x为前一项的3倍即42,y为前一项减1即41,z为前一项的3倍即123.故选B.
答案:B
134
3.若数列{an}满足关系:an+1=1+,a8=,则a5=( )
an21
35813A. B. C. D. 2358
21138
解析:由递推关系,由a8逆推依次得到a7=,a6=,a5=,故选C.
1385
答案:C
22*
4.已知数列{an}满足:a1=1,an>0,an+1-an=1(n∈N),那么使an<5成立的n的最大值为( )
A.4 B.5 C.24 D.25
222
解析:由a1=1,an>0,a2可得an=n,即an=n.要使an<5,n+1-an=1知{an}为等差数列,则n<25.故选C.
答案:C
*
5.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N),则a1 000=( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1
*
解析:由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…,以6为周期,由此可得a1 000=a4=-1.故选D.
答案:D
*
6.(2013·济宁质检)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn+Sn+1=an+1(n∈N),则此数列是( )
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
解析:∵Sn+Sn+1=an+1,∴当n≥2时,Sn-1+Sn=an. 两式相减得an+an+1=an+1-an,∴an=0(n≥2). 当n=1时,a1+(a1+a2)=a2,∴a1=0,
1
∴an=0(n∈N),故选C. 答案:C
*
?7?n7.(2013·赤峰模拟)已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)??,则当an取得最大值
?8?
时,n等于( )
A.5 B.6 C.5或6 D.7
??an≥an-1,
解析:由题意知?
?an≥an+1,?
??∴???n+2??n≥n+1??n-1,
?8??8?
?7??7?
?7?n+2??n≥?8??7?n+3??n+1.?8?
??n≤6,∴?
?n≥5.?
∴n=5或6.
答案:C
8.(2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块.
解析:用an表示第n个图的黑色瓷砖块数,则a1=12,a2=16,a3=20,…,由此可得{an}是以12为首项,以4为公差的等差数列.
∴a23=a1+(23-1)×4=12+22×4=100. 答案:100
9.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n(n∈N),则的最小值为________.
*
ann
解析:∵an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2×[1+2+…(n-1)]+33=33+n-n,
所以=
2
an33
+n-1. nnnn33-33
设f(n)=+n-1,令f′(n)=2+1>0,解得n>33,则f(n)在(33,+∞)上单调递增,在(0,33)上单调递减.因为n∈N,所以当n=5或6时f(n)有最小值.又因a553a66321ana621为=,==,所以的最小值为=. 55662n62
21
答案:
2
*
10. (2013·唐山模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n+1(n∈N),则数列的通项an=________.
2
*
解析:∵an+1-an=2n+1.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+…
22
+5+3+1=n(n≥2).当n=1时,也适用an=n.
2
答案:n
*
11.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n∈N),则数列{an}的通项an=________.
解析:设an+1+x=2(an+x),解得x=3,所以{an+3}是以2为公比,a1+3=4为首项的等比数列,
n-1
∴an+3=4·2.
n+1
∴an=2-3.
n+1
答案:2-3
*
12.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1(n∈N),求{an}的通项公式.
n+1
解析:由题意,得Sn=2-1,
n+1nn当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-1)-(2-1)=2, 当n=1时,a1=S1=3,与上式不符.
??3,n=1,∴an=?n
?2,n≥2.?
13.若数列An:a1,a2,…,an(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),则称An为E数列,记S(An)=a1+a2+…+an.
(1)写出一个E数列A5满足a1=a3=0;
(2)若a1=12,n=2 000,证明:E数列An是递增数列的充要条件是an=2 011; (3)在a1=4的E数列An中,求使得S(An)=0成立的n的最小值.
(1)解析:0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5.(答案不唯一,0,-1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,-1,-2;0,±1,0,-1,0都是满足条件的E数列A5)
(2)证明:必要性:
因为E数列An是递增数列,
所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1 999). 所以An是首项为12,公差为1的等差数列. 所以a2 000=12+(2 000-1)×1=2 011. 充分性:
由于a2 000-a1 999≤1,a1 999-a1 998≤1,…,a2-a1≤1, 所以a2 000-a1≤1 999,即a2 000≤a1+1 999.
又因为a1=12,a2 000=2011,所以a2 000=a1+1 999.
故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1 999),即An是递增数列. 综上所述,结论得证.
(3)解析:对首项为4的E数列An,由于 a2≥a1-1=3, a3≥a2-1≥2, …
a8≥a7-1≥-3, …
所以a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8). 所以对任意的首项为4的E数列An, 若S(An)=0,则必有n≥9.
又a1=4的E数列A9:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4满足S(A9)=0,
3
所以n的最小值是9.
111
14.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+n-1
an-1(n>1).
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若an=2013,求n.
解析:(1)∵a111
1=1,且an=a1+2a2+3a3+…+n-1
an-1(n>1).
∴aa1111
2=1=1,an+1=a1+2a2+3a3+…+n-1an-1+nan(n≥1).
∴a1
n+1-an=nan(n≥2).
∴an+1
n+1=
nan, ∴an+1n+1=ann(n≥2). ∴anan-1a21n=n-1=…=2=2
, ∴ann=2
(n≥2).
?1,n=1,∴a=?n?
?n?2
,n≥2.
(2)∵ann=2=2 013,∴n=4 026. 4