发布时间 : 星期一 文章概率论与数理统计第四章 第二节 方差更新完毕开始阅读4dfc90866c85ec3a86c2c55d
第二节 方差
随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.
教学目标：掌握数学方差的概念，以及其性质与计算 教学重点：数学方差概念、性质及计算 教学难点：数学方差的计算 教学内容：
一、 方差的定义
定义1 设X是一个随机变量, 若E[(X?E(X)]2存在,则称它为X的方差, 记为
D(X)?E[X?E(X)]2.
方差的算术平方根D(X)称为标准差或均方差, 它与X具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用.
方差刻划了随机变量X的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.
从方差的定义易见:
(1)若X的取值比较集中,则方差较小; (2)若X的取值比较分散,则方差较大;
(3)若方差D(X)?0, 则随机变量X以概率1取常数值,此时X也就不是随机变量了.
二、 方差的计算
若X是离散型随机变量,且其概率分布为
P{X?xi}?pi,i?1,2,?
则 D(X)??[xi?E(X)]2pi;
i?1?若X是连续型随机变量,且其概率密度为f(x), 则
D(X)??[xi?E(X)]2f(x)dx.
???利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式:
D(X)?E(X2)?[E(X)]2.
三、方差的性质
1. 设C常数, 则D(C)?0;
2. 若X是随机变量, 若C是常数, 则
D(CX)?C2D(X);
3. 设X,Y是两个随机向量,则
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2E((X?E(X))(Y?E(Y)));
特别地, 若X,Y相互独立, 则
D(X?Y)?D(X)?D(Y).
注: 对n维情形, 有: 若X1,X2,?,Xn相互独立, 则
?n?n?n?n2D??Xi???D(Xi),D??CiXi???CiD(Xi). ?i?1?i?1?i?1?i?1
例题选讲:
方差的计算
例1 (讲义例1) 设随机变量X具有数学期望E(X)??,方差D(X)??2?0. 记
X??X*?, 则
?E(X*)?D(X)?E(X即X*?**21?E(X??)?*21?[E(X)??]?0;
)?[E(X)]?E[(X????2)]?2E[(X??)]?2?1.
??212X???的数学期望为0, 方差为1. X*称为X的标准化变量.
例2 (讲义例2) 设随机变量X具有(0?1)分布, 其分布律为
P{X?0}?1?p,P{X?1}?p,
求E(X),D(X).
例3 (讲义例3) 设X~P(?), 求E(X),D(X). 例4 (讲义例4) 设X~U(a,b), 求E(X),D(X).
例5 (讲义例5) 设随机变量X服从指数分布, 其概率密度为
?1?x/??e,x?0,f(x)???
?x?0.?0,其中??0, 求E(X),D(X).
方差的性质
例6 (讲义例6) 设X~b(n,p), 求E(X),D(X).
例7 (讲义例7) 设X~N(?,?2), 求E(X),D(X).
课堂练习
1. 设随机变量X的密度函数为
0?x?1?x,?f(x)??2?x,1?x?2
?0,其它.?求E(X).
2. 设随机变量X的概率分布律为
X?101/212
pi1/31/61/61/121/42试求Y??X?1及Z?X的期望与方差.
课后作业： P88 T 5、8、9